2022-2023学年初数北师大版九年级上册第二章 一元二次方程 章末检测

试卷更新日期：2022-07-05 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

  • 1. 解一元二次方程(x−1)2=2(x−1)最适宜的方法是（   ）
    A、直接开平方 B、公式法 C、因式分解法 D、配方法

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  • 2. 下列关于 x 的方程：① ax2+bx+c=0 ；② 3(x−9)2−(x+1)2=1 ；③ x2+1x+5=0 ；④ x2 −2+5x3−6=0 ；⑤ 3x2=3(x−2)2 ；⑥ 12x−10=0 .其中一元二次方程有（ ）
    A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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  • 3. 根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（  ）

    x

    0.00

    0.25

    0.50

    0.75

    1.00

    x2+5x﹣3

    -3.00

    -1.69

    -0.25

    1.31

    3.00

    A、0＜x＜0.25 B、0.25＜x＜0.50 C、0.50＜x＜0.75 D、0.75＜x＜1

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  • 4. 用配方法解方程 x2 + 6x -1 = 0 时，配方结果正确的是（   ）
    A、(x - 3)2  = 10 B、(x - 3)2  = 8 C、(x + 3)2  = 8 D、(x + 3)2  = 10

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  • 5. 如图是小明在解方程 12 x2-2x-1= 0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（    ）

    A、第①步 B、第②步 C、第③步 D、第④步

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  • 6. 若 x=2±4−4×3×(−1)2×3 是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（  ）
    A、3x2+2x﹣1＝0 B、2x2+4x﹣1＝0 C、﹣x2﹣2x+3＝0 D、3x2﹣2x﹣1＝0

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  • 7. 将关于 x 的一元二次方程 x2﹣px+q=0 变形为 x2=px−q ，就可以将 x2 表示为关于 x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 x3=x⋅x2=x(px﹣q)= …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： x2−x−1=0 ，且 x>0 ，则 x3+1 的值为（    ）
    A、1+5 B、1−5 C、3﹣5 D、3+5

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  • 8. 在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 a*b=a+b2 ，根据这个规则，方程 x*(x+1)=5 的解是 （  ）
    A、x=5 B、x=1 C、x1=−4 ， x2=1 D、x1=4 ， x2=−1

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  • 9. 若关于x的方程x2+2mx+m2+3m−2=0有两个实数根x1、x2 ， 则x1(x2+x1)+x22的最小值为（       ）
    A、-2 B、23 C、12 D、54

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  • 10. 某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（   ）

    A、(30−2x)(20−2x)=214 B、(30−x)(20−x)=30×20−214 C、(30−2x)(20−2x)=30×20−214 D、(30+2x)(20+2x)=30×20−214

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二、填空题（每题4分，共24分）

  • 11. 写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程：.

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  • 12. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ．

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  • 13. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 − 6 x + k = 0 通过配方法可以化成 ( x + m ) 2 = n ( n ⩾ 0 ) 的形式，则 k 的值可以是.(写出一个符合要求的 k 值).

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  • 14. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号Max{a，b}表示a、b中的较大数，如：Max{﹣2，﹣4}=﹣2.按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= 2x+1x 的解为.

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  • 15. 三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 .

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  • 16. 已知关于x的一元二次方程 x2−6x+m+4=0 有两个实数根 x1 ， x2 ，若 x1 ， x2 满足 3x1=|x2|+2 ，则m的值为

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三、解答题（共8题，共66分）

  • 17. 用适当方法解下列一元二次方程：
    (1)、x2﹣6x＝1；
    (2)、x2﹣4＝3（x﹣2）．

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  • 18. 当m为何值时，关于x的方程 (m−2)xm2−2−4mx=0 为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．

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  • 19.   
    (1)、根据要求，解答下列问题：

    ①方程 x−22x+1=0 的解为；

    ②方程 x−23x+2=0 的解为；

    ③方程 x−24x+3=0 的解为；

    (2)、根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

    ①方程 x−210x+9=0 的解为.

    ②关于x的方程的解为x1＝1，x2＝n；

    (3)、请用配方法解方程 x−210x+9=0 ，以验证猜想结论的正确性.

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  • 20. 已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

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  • 21. 我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
    (1)、请说明方程x2−3x+2=0是倍根方程；
    (2)、若(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，则m ， n具有怎样的关系？
    (3)、若一元二次方程ax2+bx+c=0(b2−4ac≥0)是倍根方程，则a ， b ， c的等量关系是（直接写出结果）

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  • 22. 阅读资料：阅读材料，完成任务：材料  阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。

    他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解：

    将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x ， 宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。

    所以(x＋1)2＝36，则 x＝5.

    任务：请回答下列问题

    (1)、上述求解过程中所用的方法是（ ）
    A、直接开平方法 B、公式法 C、配方法 D、因式分解法
    (2)、所用的数学思想方法是（ ）
    A、分类讨论思想 B、数形结合思想 C、转化思想 D、公理化思想
    (3)、运用上述方法构造出符合方程  x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形

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  • 23. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售出3件.
    (1)、若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？
    (2)、每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？

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  • 24. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF ，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．

    (1)、如图1，当点F在线段BC上时，

    ①设EF的长为x米，则DE=      ▲ 米；(用含 x的代数式表示)

    ②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；

    (2)、如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．

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