2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系同步训练

试卷更新日期：2022-07-05 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（）

A、－3 B、－6 C、3 D、6

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2. 关于x的一元二次方程 $3 x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两根，其中一根为 $x = 1$ ，则这两根之积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2}$ ， $x_{1} x_{2}$ 的值分别是（）

A、1和6 B、5和-6 C、-5和6 D、5和6

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4. 已知关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个实数根分别为x₁=-2，x₂=4，则m，n的值分别为（）

A、m=-2，n=8 B、m=-2，n=-8 C、m=2，n=-8 D、m=2，n=8

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5. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - b x + c = 0$ 的两根互为相反数，则（）

A、 $b = 0$ B、 $c = 0$ C、 $b > 0$ D、 $b < 0$

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6. 设 $α$ ， $β$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $α^{2} + β^{2}$ 的值是（）

A、－2 B、2 C、4 D、6

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7. 已知 $m$ 、 $n$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $m^{2} + m n + 2 m$ 的值为（）

A、0 B、-10 C、3 D、10

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8. 若a、b是关于x的一元二次方程x² $- 2$ kx＋4k $=$ 0的两个实数根，且a²＋b²＝12，则k的值是（）

A、-1 B、3 C、-1或3 D、-3或1

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9. 已知 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值等于（）

A、 $- 6$ B、6 C、10 D、 $- 10$

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10. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ．若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 m$ ，则m的值是（）

A、2 B、﹣1 C、2或﹣1 D、不存在

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 若1和2是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的两根，则 $m \cdot n =$

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12. 请你构造一个二次项系数为 $1$ 的一元二次方程，使它的两根分别是2和3：.

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13. 一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是.

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14. 已知α，β是一元二次方程x²＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是．

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15. 设a、b是方程 $x^{2} + x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则 ${(a + 1)}^{2} + b$ 的值为.

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16. 已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x²﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是．

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三、解答题（共8题，共52分）

17. 若 $3 + \sqrt{7}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + c = 0$ 的一个根，求方程的另一个根及c的值.

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18. 用公式法解方程2x²+7x-4=0，并用根与系数的关系检验所求的根是否正确.

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19. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 m$ ，求m的值．

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20. 在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的对边分别是a、b、c；已知 $a = 3$ ，b、c分别是方程 $x^{2} - 12 x + m = 0$ 的两个根，试求 $△ A B C$ 的周长.

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21. 已知x₁ ， x₂是一元二次方程x²-3x-5=0的两个根.

(1)、填空：x₁+x₂= ， x₁·x₂=；

(2)、求（x₁-3）（x₂-3）及x₁²+x₂²的值.

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22. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．现已知一元二次方程 $p x^{2} + 2 x + q = 0$ 的两根分别为m，n．

(1)、若 $m = 2 ， n = - 4$ ，求 $p ， q$ 的值；

(2)、若 $p = 3 ， q = - 1$ ，求 $m + m n + n$ 的值．

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23. 已知关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} + (2 k - 3) x + k + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 $k$ 的值；如果不存在，请您说明理由．

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24. 阅读理解：
材料一：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
材料二：已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.
解：由题知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，根据材料一得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ .
解决问题：

(1)、已知实数 $s$ ， $t$ 满足 $2 s^{2} - 2 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} - 2 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $s^{2} t + s t^{2}$ 的值；

(2)、已知实数 $p$ ， $q$ 满足 $p^{2} = 3 p + 2$ ， $2 q^{2} = 3 q + 1$ ，且 $p \neq 2 q$ ，求 $p^{2} + 4 q^{2}$ 的值.

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2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步训练

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共52分）

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