2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步训练

试卷更新日期：2022-07-05 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两个根为（）

A、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = - 3$

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2. 用因式分解法解下列方程，正确的是（）

A、 $(x + 3) (x - 1) = 1$ ，则 $x + 3 = 0$ ，或 $x - 1 = 1$ B、 $(2 x - 2) (3 x - 4) = 0$ ，则 $2 x - 2 = 0$ ，或 $3 x - 4 = 0$ C、 $(x - 2) (x - 3) = 2 \times 3$ ，则 $x - 2 = 2$ ，或 $x - 3 = 3$ D、 $x (x + 2) = 0$ ，则 $x + 2 = 0$

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3. 方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（）

A、1，﹣2 B、3，﹣2 C、3 D、1

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4. 用因式分解法把方程 $5 y (y - 3) = 3 - y$ 分解成两个一次方程，正确的是（）

A、 $y - 3 = 0 ， 5 y - 1 = 0$ B、 $5 y = 0 ， y - 3 = 0$ C、 $5 y + 1 = 0 ， y - 3 = 0$ D、 $5 y = 1 ， y - 3 = 3 - y$

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5. 已知实数x，y满足 $\frac{26 x^{3} y^{3}}{x^{6} - 27 y^{6}} = 1$ 且 $x^{2} \neq y^{2}$ ，则 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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6. 一元二次方程5x²﹣2x=0，最适当的解法是（）

A、因式分解法 B、配方法 C、公式法 D、直接开平方法

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7. 若关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - (k + 1) x + 1 = 0$ 的根是整数，则满足条件的整数 $k$ 的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知一个直角三角形的两边长是方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）

A、3 B、 $\sqrt{41}$ C、3或 $\sqrt{41}$ D、5或 $\sqrt{41}$

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9. 关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（）

两边同时除以（x﹣1）得，x＝3

整理得，x²﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，

b²﹣4ac＝28

∴x＝ $\frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$ ＝2± $\sqrt{7}$

整理得，x²﹣4x＝﹣3配方得，x²﹣4x+2＝﹣1

∴（x﹣2）²＝﹣1

∴x﹣2＝±1

∴x₁＝1，x₂＝3

移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0

∴x₁＝1，x₂＝3

A、A B、B C、C D、D

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10. 已知直角三角形的两条直角边的长是方程x²﹣7x+12＝0的两根，则这个直角三角形外接圆的半径（）

A、7 B、2.5 C、 $\sqrt{7}$ D、5

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二、填空题（每空3分，共21分）

11. 已知：（x²+y²）（x²+y²﹣1）＝20，那么x²+y²＝．

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12. 若代数式x²+5x+6与-x+1的值相等，则x的值为.

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13. 已知（x+3）（x﹣2）+m＝x²+x，则一元二次方程x²+x﹣m＝0的根是．

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14. 若菱形的两条对角线分别是方程x²-14x+48=0的两个实数根，则菱形的边长为．

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15.

(1)、如果（2m+n）²+3（2m+n）=0，则2m+n的值为.

(2)、若实数x，y满足（x²+y²+2）（x²+y²-1）=0，则x²+y²的值为.

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16. 对于实数m，n，先定义一种断运算“ $\otimes$ ”如下： $m \otimes n = {\begin{matrix} m^{2} + m + n ，当 m \geq n 时 \\ n^{2} + m + n ，当 m < n 时 \end{matrix}$ ，若 $x \otimes (- 2) = 10$ ，则实数x的值为.

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三、解答题（共8题，共52分）

17. 解方程：

(1)、 $4 x^{2} - 9 = 0$

(2)、 $x^{2} + 6 x - 5 = 0$

(3)、 $x^{2} + 3 = 2 \sqrt{3} x$

(4)、 $x (x - 4) = 8 - 2 x$

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18. 选择适当的方法解下列方程：

(1)、2x²-9x+9=0

(2)、（x+4）²=5（x+4）

(3)、（x+1）²=4x

(4)、2x²-8x-1=0

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19. 解方程：

(1)、2x²﹣3x+1＝0（配方法）

(2)、x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）

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20. 以下是小滨在解方程 $(x + 2) (x - 3) = 3 - x$ 时的解答过程.
解：原方程可化为 $(x + 2) (x - 3) = - (x - 3)$
解得原方程的解是 $x = - 3$ .
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.

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21. 先化简，再求值：，其中m为方程 $m^{2} + m - 2 = 0$ 的一根.

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22. 已知两个整式 $A = x^{2} + 2 x$ ， $B = x + 2$ ．

(1)、若 $B$ 的值是1，求 $x$ 和 $A$ 的值；

(2)、若 $A + B$ 的值是0，求 $x$ 的值．

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23. 定义新运算“ $\oplus$ ”如下：当a≥b时，a $\oplus$ b=ab-a；当a $\oplus$ b=ab+b.

(1)、计算：（-2） $\oplus$ （- $\frac{1}{2}$ ）

(2)、若2x $\oplus$ （x+1）=0，求x的值.

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24.

(1)、用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两边同时乘以 $4 a$ 并移项，得到 $4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c$ ，两边再同时加上 $b^{2}$ ，得（ ▲ ）² $= b^{2} - 4 a c$ .请用这样的方法解方程： $3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ ；

(2)、华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 $x^{2} + b x + c = 0$ ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
$x^{2} + b x + c = (x - m) \cdot (x - n)$ （从这里可以看出方程的解为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ）

即 $x^{2} + b x + c = x^{2} - (m + n) x + m n$

因为 $m + n = - b$ ，所以 $m$ 、 $n$ 的平均数为 $- \frac{b}{2}$ ，不妨设 $m = - \frac{b}{2} + p$ ， $n = - \frac{b}{2} - p$ ，

利用 $x_{1} \cdot x_{2} = m n$ ，得 $(- \frac{b}{2} + p) \cdot (- \frac{b}{2} - p) = c$ ，所以 ${(- \frac{b}{2})}^{2} - p^{2} = c$ ，即能求出 $p$ 的值.

举例如下：解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ ，由于 $- \frac{b}{2} = 1$ ，所以方程的两个根为 $1 \pm p$ ，而 $1^{2} - p^{2} = - 4$ ，解得 $p = \pm \sqrt{5}$ ，所以方程的解为 $x_{1} = 1 + \sqrt{5}$ ， $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ .

请运用以上方法解如下方程① $x^{2} - 2 \sqrt{3} x - 4 = 0$ ；② $3 x^{2} - \sqrt{11} x + \frac{1}{2} = 0$

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2022-2023学年初数北师大版九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步训练

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共21分）

三、解答题（共8题，共52分）

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