2022-2023学年初数北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定同步训练

试卷更新日期：2022-07-05 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是（）

A、16 B、4 $\sqrt{2}$ C、8 D、8 $\sqrt{2}$

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2. 下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）

A、对角线相等的平行四边形 B、对角线互相平分且垂直的四边形 C、对角线互相垂直且相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的平行四边形

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3. 如图，在 $2 \times 2$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 $A B C D$ 的周长记为c，若 $a - 1 < c < a$ (a为正整数)，则a的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、②③④ D、①③④

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5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC ， ②∠ABC＝90°，③AC＝BD ， ④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　）

A、①② B、①③ C、③④ D、①④

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6. 下列命题正确的是（）

A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形 B、有一个角是直角的平行四边形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、对角线互相平分的矩形是正方形

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7. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C、对角互补 D、四个角相等

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8. 如图， $R t △ A B C ≅ R t △ D C B$ ，其中 $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F ，连接BE、CF ，则下列结论错误的是（）．

A、四边形BECF为平行四边形 B、当 $B F = 3.5$ 时，四边形BECF为矩形 C、当 $B F = 2.5$ 时，四边形BECF为菱形 D、四边形BECF不可能为正方形

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9. 如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的动点，且 $B E = D F$ ， $M$ ， $N$ 分别是边 $A D$ ，边 $B C$ 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 $M E N F$ ；
②存在无数个矩形 $M E N F$ ；
③存在无数个菱形 $M E N F$ ；
④存在无数个正方形 $M E N F$ ．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知在四边形ABCD中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：．

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12. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．

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13. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则 $\frac{A H}{A B}$ 的值是．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $O M N P$ 都是边长为4的正方形，点O是正方形 $A B C D$ 对角线的交点，正方形 $O M N P$ 绕点O旋转过程中分别交 $A B$ ， $B C$ 于点E，F，则四边形 $O E B F$ 的面积为．

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15. 如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加，才能保证四边形EFGH是正方形.

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C > B C$ ，分别以 $△ A B C$ 的三边为边向外作三个正方形 $A B H L$ ， $A C D E$ ， $B C F G$ ，连接 $D F$ .过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线 $C J$ ，垂足为 $J$ ，分别交 $D F$ ， $L H$ 于点 $I$ ， $K$ .若 $C I = 5$ ， $C J = 4$ ，则四边形 $A J K L$ 的面积是.

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三、解答题

17. 如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．

(1)、在图中画一个以 $A B$ 为一边的菱形 $A B C D$ ，且菱形 $A B C D$ 的面积等于20．

(2)、在图中画一个以 $E F$ 为对角线的正方形 $E G F H$ ，并直接写出正方形 $E G F H$ 的面积．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点F， $∠ E = 90 °$ ， $E D = E C$ .求证：四边形 $D F C E$ 是正方形.

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19. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中， $A E$ ， $B E$ ， $C F$ ， $D F$ 分别是四个内角的平分线， $A E$ ， $D F$ 相交于点 $M$ ， $B E$ ， $C F$ 相交于点 $N$ 求证：四边形 $E M F N$ 是正方形．

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20. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC.

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21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ， $O E = O A$ .
求证：四边形 $A E C F$ 是正方形.

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22. 如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．

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23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．

(1)、求证：CE＝AD；

(2)、当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)、在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）

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24. 问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；

(1)、解决问题：AH与DF之间的数量关系是，位置关系是；

(2)、深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：

(3)、拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 °＜α＜90 °），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
①当AM＝2时，直接写出S_△BMN＋S_△CEN的值；
②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）

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2022-2023学年初数北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定 同步训练

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题

2022-2023学年初数北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定同步训练