2022-2023学年浙教版数学八年级上册1.3 证明同步练习

试卷更新日期：2022-07-04 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB∥CD的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 手机截屏内容是某同学完成的作业，需要回答横线上符号代表的内容．

如图， $∠ A = ∠ A D E$ ， $∠ C = ∠ E$ ．求证： $B E ∥ C D$ ．

证明：∵ $∠ A = ∠ A D E$ ，

∴ $D E ∥$ ① ，

∴ $∠ A B E =$ ② ．

又∵ $∠ C = ∠ E$ ，

∴ $∠ A B E =$ ③ ，

∴ $B E ∥ C D$ （ ④ ）．

则回答正确的是（）

A、①应填

A C

B、②应填

∠ C

C、③应填

∠ E

D、④应填内错角相等，两直线平行

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3. 定理：三角形的内角和等于

180 °

．

已知： $△ A B C$ 的三个内角为 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ ．

求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

证法1

证法2

如图1，延长 $B C$ 到点D，则 $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．

∵ $∠ A C D + ∠ A C B = 180 °$ （平角的定义），

∴ $∠ A + ∠ B + ∠ A C B = 180 °$ （等量代换）．

如图2，过点 $C$ 作 $D E ∥ A B$ ， ∵ $D E ∥ A B$ ，

$∠ 1 = ∠ B$ （两直线平行，内错角相等），

$∠ 2 = ∠ A$ （两直线平行，内错角相等），

又∵ $∠ 1 + ∠ A C B + ∠ 2 = 180 °$ （平角定义），

∴ $∠ A + ∠ A C B + ∠ B = 180 °$ （等量代换）．

下列说法正确的是（）

A、证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B、证法1用合理的推理证明了该定理 C、证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D、证法2用严谨的推理证明了该定理

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4. 已知：如图， $∠ 1 = 110 °$ ， $∠ 2 = 70 °$ ，求证： $a$ ∥ $b$ ．下面为嘉琪同学的证明过程：
证明：∵ $∠ 1 = 110 °$ ， $∠ 3 = ∠ 1$ （   ①  ），
∴ $∠ 3 = 110 °$ ．又∵ $∠ 2 = 70 °$ ， ∴ $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$
∴ $a$ ∥ $b$ （  ②  ）．
其中①②为解题依据，则下列描述正确的是（  ）

A、①代表内错角相等 B、②代表同位角相等，两直线平行 C、①代表对顶角相等 D、②代表同旁内角相等，两直线平行

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5. 用反证法证明命题：“如图，如果AB//CD，AB//EF，那么CD//EF.”证明的第一个步骤是（）

A、假定CD//EF B、假定CD不平行于EF C、已知AB//EF D、假定AB不平行于EF

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6. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

证法1：如图，

∵∠A＝70°，∠B＝63°，

且∠ACD＝133°（量角器测量所得）

又∵133°＝70°+63°（计算所得）

∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．

证法2：如图，

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），

又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），

∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．

∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．

下列说法正确的是（）

A、证法1用特殊到一般法证明了该定理 B、证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理 C、证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 D、证法2用严谨的推理证明了该定理

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7. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证法1：如图，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理）
又∵∠ACD＋∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等式性质）
证法2：如图，
∵∠A＝88°，∠B＝58°，
且∠ACD＝146°（量角器测量所得）
又∵146°＝88°＋58°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等量代换）
下列说法正确的是（）

A、证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B、证法1用严谨的推理证明了该定理 C、证法2用特殊到一般法证明了该定理 D、证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

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9. 已知：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$
求证： $∠ B = ∠ C$

证明：如图，作______

在 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 中，

$∵ {\begin{array}{l} A B = A C \\ ∠ B A D = ∠ C A D \\ A D = A D \end{array}$

$∴ △ A B D ≌ △ A C D$

$∴ ∠ B = ∠ C$

其中，横线应补充的条件是（）

A、 $B C$ 边上高 $A D$ B、 $B C$ 边上中线 $A D$ C、 $∠ A$ 的平分线 $A D$ D、 $B C$ 边的垂直平分线

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点E，则下列结论一定成立的是（　　　）

A、 $A C = A E$ B、 $E C = A E$ C、 $B E = A E$ D、 $A C = E C$

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二、解答题

11. 在横线上填上适当的内容，完成下面的证明.
如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线，求证：DF∥AB.

证明：∵BE是∠ABC的角平分线

∴∠1=∠2（   ）

又∵∠E=∠1

∴∠E=∠2（   ）

∴ ∥ （   ）

∴∠A+∠ABC=180°（   ）

又∵∠3+∠ABC=180°

∴ = （   ）

∴DF∥AB（   ）.

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12. 如图，先填空后证明.

已知： ∠1+∠2=180° 求证：a∥b

证明：∵ ∠1=∠3（），

∠1+∠2=180°（）

∴ ∠3+∠2=180°（）

∴ a∥b（）

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13. 完成下面的证明.
如图， $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A = ∠ A O C$ ， $∠ B = ∠ B O D$ .

求证： $∠ C = ∠ D$ .

证明：∵ $∠ A = ∠ A O C$ ， $∠ B = ∠ B O D$ ，

又 $∠ A O C = ∠ B O D$ （   ），

∴ $∠ A = ∠ B$ .

∴ $A C$ ∥        （   ）.
∴ $∠ C = ∠ D$ （   ）.

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14. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．

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15. 请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：
已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB∥CD.

证明：∵AD∥BC（已知），

∴∠3＝　▲　（   ）.

∵∠3＝∠4（已知），

∴∠4＝　▲　（   ）.

∵∠1＝∠2（已知），

∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（   ）.

即∠BAF＝　▲　.

∴∠4＝∠BAF.（　   　）.

∴AB∥CD（　   　）.

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16. 如图，已知 $∠ C + ∠ E = ∠ E A B$ ，求证： $A B // C D$ .

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17. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 2 ∠ C$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ．若 $E F ⊥ A E$ 交 $A C$ 于F ，求证： $∠ C = 2 ∠ F E C$ ．

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三、综合题

18. 已知：如图，点D、E、F、G都在 $△ A B C$ 的边上， $E F ∥ A C$ ，且 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$

(1)、求证： $A E ∥ D G$ ；

(2)、若EF平分 $∠ A E B$ ， $∠ C = 35 °$ ，求 $∠ B D G$ 的度数.

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19. 如图：

(1)、探究：如图1直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上过点D作 $D E ∥ B C$ 交AC于点E，过点E作 $E F ∥ A B$ 交BC于点F．若 $∠ A B C = 50 °$ ，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解： $∵ D E ∥ B C$ ，
$∴ ∠ D E F =$ ▲ ．（）
$∵ E F ∥ A B$ ，
∴▲ $= ∠ A B C$ ．（）
$∴ ∠ D E F = ∠ A B C$ ．（等量代换）
$∵ ∠ A B C = 50 °$ ，
$∴ ∠ D E F =$ ▲ ．

(2)、应用：如图2，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作 $D E ∥ B C$ 交AC于点E，过点E作 $E F ∥ A B$ 交BC于点F．若 $∠ A B C = 65 °$ ，求 $∠ D E F$ 的度数并说明理由

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20. 如图，已知直线 $E F ∥ G H$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C$ 平分 $∠ D C H$ ．

(1)、求证： $∠ A C D = ∠ D A C$ ；

(2)、若 $∠ A C G$ 比 $∠ B C H$ 的2倍少3度，求 $∠ D A C$ 的度数．

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21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC的中线，E是边AB上一点（点E不与点A、B重合），过点E作EF⊥BC于点F

(1)、求证：AD∥FG；

(2)、求证：AG＝AE；

(3)、若AE＝3BE，且AC＝4，直接写出CG的长．

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一、单选题

二、解答题

三、综合题

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