浙江省宁波市九校2021-2022学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. $\frac{1 + 3 i}{1 - i}$ =（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

查看试题解析
2. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、8 C、4 D、 $8 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 设l，m是两条不同的直线， $α$ 是一个平面，则下列命题不正确的是（）

A、若l∥m，l⊥ $α$ ，则m⊥ $α$ B、若l∥m，l∥ $α$ ，则m∥ $α$ C、若l∥ $α$ ， m⊥ $α$ ，则l⊥m D、若 $l ⊥ α ， m \subset α$ ，则l⊥m

查看试题解析
4. 经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国著名冰城哈尔滨就处在北纬 $3 0^{∘}$ ，若将地球看成近似球体，其半径约为 $6400 k m$ ，则北纬 $3 0^{∘}$ 纬线的长为（）

A、 $3200 \sqrt{3} k m$ B、 $3200 \sqrt{3} π k m$ C、 $6400 \sqrt{3} π k m$ D、 $6400 π k m$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ ，其内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a c o s A c o s B + b c o s^{2} A = a c o s A$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、.等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

查看试题解析
6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，角 $β$ 满足 $c o s (α + β) = 0$ ，则 $\frac{s i n 2 β}{c o s 2 β + 1}$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
7. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 ${(a_{3} - 1)}^{2023} + 2023 (a_{3} - 1) = 1$ ， ${(a_{2020} - 1)}^{2023} + 2023 (a_{2020} - 1) = - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{2022} = - 2022 ， a_{3} > a_{2020}$ B、 $S_{2022} = - 2022 ， a_{3} < a_{2020}$ C、 $S_{2022} = 2022 ， a_{3} > a_{2020}$ D、 $S_{2022} = 2022 ， a_{3} < a_{2020}$

查看试题解析
8. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}} (λ \in R)$ ，其中 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，恒有 $| \vec{a} + \vec{b} | \geq \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 夹角的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 如图所示，四边形 $A B C D$ 为梯形，其中 $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，则结论正确的是（）

A、 $\vec{A C} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ B、 $\vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ C、 $\vec{M N} = \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ D、 $\vec{B C} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B}$

查看试题解析
10. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列与 $△ A B C$ 有关的结论，正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则sinA＞cosB B、若A＞B，则sinA＞sinB C、若 $△ A B C$ 为非直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC D、若acosA＝bcosB，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形

查看试题解析
11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，则（）

A、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成的角的取值范围为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ C、直线 $C_{1} P$ 与平面 $D_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、过 $P$ 作直线 $l / / A D_{1}$ ，则 $l ⊥ D P$

查看试题解析
12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 4 a_{3} + ⋯ + 2^{n - 1} a_{n} = (23 - 3 n) \cdot 2^{n} - 23$ ，令 $b_{n} = 2^{a_{n}} ， S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项积， $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} + a_{2} a_{3} a_{4} + ⋯ + a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}$ ，则（）

A、 $a_{5} - a_{3} = - 6$ B、 ${b_{n}}$ 为单调递增的等比数列 C、当 $n = 6$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 D、当 $n = 6$ 时， $T_{n}$ 取得最大值

查看试题解析

三、填空题

13. 若复数 $Z_{1} = 1 + 3 i ， Z_{2} = 3 - i$ （其中 $i$ 为虚数单位）所对应的向量分别为 $\vec{O Z_{1}}$ 和 $\vec{O Z_{2}}$ ，则 $△ O Z_{1} Z_{2}$ 的面积为．

查看试题解析
14. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，设 $T_{n}$ 为数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{4} = 12$ ， $S_{8} = 40$ ，则 $T_{n}$ 为．

查看试题解析
15. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，若 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} ， (λ \in R ， μ \in R)$ ，则 $λ - 2 μ$ 的最大值是．

查看试题解析
16. 如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 3 ， A D = 2 ， ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，现将 $△ A B D$ 沿直线 $B D$ 翻折，得到三棱锥 $A^{'} - B C D$ ，若 $A^{'} C = \sqrt{7}$ ，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的内切球与外接球表面积的比值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点 $F$ 是 $B C$ 边上的中点，点 $E$ 是 $C D$ 边上一个动点．

(1)、若 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ 的值；

(2)、求 $\vec{E A} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (3 n - 1) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
19. 某地一天的时间 $x (0 ⩽ x ⩽ 24$ ，单位：时)随气温 $y (^{o} C)$ 变化的规隼可近似看成正弦函数 $y = A sin (ω x + φ) + B$ 的图象，如图所示.

(1)、根据图中数据，试求 $y = A sin (ω x + φ) + B$ $(A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的表达式.

(2)、该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于 $23^{o} C$ ，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？

查看试题解析
20. 已为 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $a c o s C - \sqrt{3} a s i n C = b - c$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，角 $B$ 的平分线 $B D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ．

查看试题解析
21. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 和四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 均为菱形， $A B = 4$ ， $∠ A B B_{1} = ∠ C A A_{1} = 6 0^{∘}$ ， $c o s ∠ C A B = \frac{1}{8}$ ．

(1)、求证： $B_{1} C ⊥ A A_{1}$ ；

(2)、求直线 $B C$ 和平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
22. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ 且 $T_{n} = {(\frac{b_{n} + 1}{2})}^{2}$

(1)、求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n} \cdot T_{n}}{2^{n + 1} \cdot n^{3}}$ ， $n \in$ N^* ，求证： $\frac{c_{1} - c_{2}}{\sqrt{c_{1}}} + \frac{c_{2} - c_{3}}{\sqrt{c_{2}}} + \frac{c_{3} - c_{4}}{\sqrt{c_{3}}} + ⋯ + \frac{c_{n} - c_{n + 1}}{\sqrt{c_{n}}} < \sqrt{2}$ ．

查看试题解析