浙江省丽水市2021-2022学年高一下学期数学普通高中教学质量监控（期末）试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ( $i$ 为虚数单位），则 $z$ 等于（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $i$ D、 $- i$

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2. 若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为非零向量，则“ $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ”是“ $\vec{a} ， \vec{b}$ 共线”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 从某中学抽取 $10$ 名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数，第75百分位数分别为（）

A、92，85 B、92，88 C、92，96 D、96，96

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4. 若 $P (A B) = \frac{1}{9} ， P (\bar{A}) = \frac{2}{3} ， P (B) = \frac{1}{3}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、事件 $A$ 与 $B$ 对立 C、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、事件 $A$ 与 $B$ 既互斥又相互独立

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5. 某校高一年级1000名学生的血型统计情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（）

A、11 B、22 C、110 D、220

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6. 为了得到函数 $y = s i n (3 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只要把 $y = s i n x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ 倍 C、纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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7. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤六丈，上袤四丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽 $A D = 3$ 丈，长 $A B = 6$ 丈，上棱 $E F = 4$ 丈， $E F$ 与平面 $A B C D$ 平行， $E F$ 与平面 $A B C D$ 的距离为 $1$ 丈，则它的体积是（）

A、8立方丈 B、6立方丈 C、5立方丈 D、4立方丈

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8. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形， $A A_{1} = 3$ ， $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 的中点，过点 $D_{1} ，$ $E ， F$ 的平面记为 $α$ ，则下列说法中错误的是（）

A、点 $B$ 到平面 $α$ 的距离与点 $A_{1}$ 到平面α的距离之比为 $1 ： 2$ B、平面 $α$ 截直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ C、平面 $α$ 将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为49︰25 D、平面 $α$ 截直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的形状为五边形

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二、多选题

9. 设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ ．下列命题中正确的是（）

A、若 $| z_{2} | = | z_{3} |$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ B、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ C、若 ${\bar{z}}_{2} = z_{3}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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10. 已知 $a ， b ， c$ 为 $△ A B C$ 的三内角 $A 、 B 、 C$ 的对边，下列命题中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $s i n A > s i n B$ 的充要条件是 $A > B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $s i n A s i n B > c o s A c o s B$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 必是等腰直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $B = 60 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 必是等边三角形

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11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D$ ， $E$ 是 $B C$ 边上一点，且 $\vec{B C} = 3 \vec{E C}$ ， $F$ 是 $A E$ 的中点，则下列关系式正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{B E} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\overset{⇀}{C F} = - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ D、 $\vec{B F} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$

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12. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中，满足 $A D$ ∥ $B C$ ， $C D ⊥ D A$ ，且 $△ A B C$ 为正三角形，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折成三棱锥 $D - A B C$ ，记 $A D$ 与平面 $C B D$ 所成的角为 $α$ ， $B D$ 与平面 $C A D$ 所成的角为 $β$ ， $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $θ$ ，则在翻折过程中，下列结论一定成立的是（）

A、 $β \geq α$ B、 $β \leq α$ C、 $α \geq θ$ D、 $α \leq θ$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为．

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14. 有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）， $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = A D = 2$ ， $D C ⊥ B C$ ，则原多边形面积为．

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15. 抛掷一枚骰子，记 $A$ 为事件“出现点数是奇数”， $B$ 为事件“出现点数是3的倍数”，则 $P (A ∩ B ）$ ＝．

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16. 如图，正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，点 $P$ 是该正四面体内切球球面上的动点，点 $E$ 是 $A D$ 上的动点，则 $P E$ 的取值范围为．

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17. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $2 \vec{B E} = \vec{E C}$ ， $P$ 是平面 $A B C D$ 内的动点，且 $\vec{A P} \cdot \vec{A B} = {\vec{A P}}^{2}$ ，若 $0 < t < 1$ ，则 $| \vec{B E} + t \vec{D E} | + | \vec{P E} + (t - 1) \vec{D E} |$ 的最小值为．

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四、解答题

18. 如图，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P₀)开始计时，当水轮转动90秒时，点P距离水面米．

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19. 某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了100名学生的一个学期课外阅读时间，所得数据都在 $[50 ， 150]$ 中，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求图中 $a$ 的值以及在 $[75 ， 100)$ 中的学生数；

(2)、根据频率分布直方图，估计该校学生一个学期课外阅读平均时间．

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20. 设 $a 、 b 、 c$ 为 $Δ A B C$ 的三内角 $A 、 B 、 C$ 的对边， $\sqrt{3} b c o s A = (2 c - \sqrt{3} a) c o s B$ $\sqrt{3}$ ， $c^{2} - b^{2} = a (a + b)$ ．

(1)、求 $B ， C$ 的大小；

(2)、在下列两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①周长为 $6 + 3 \sqrt{3}$ ；②面积为 $S_{Δ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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21. 如图，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，半圆面 $A P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．点 $P$ 为半圆弧 $A D$ (不含 $A$ ， $D$ )上一动点．

(1)、求证： $P B ⊥ P D$ ；

(2)、当点 $P$ 为弧 $A D$ 中点时，求二面角 $P - B D - A$ 的正切值．

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22. 甲、乙两人参加某学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．

(1)、求乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率；

(2)、两人各回答3个问题，求甲恰好回答2个正确且乙恰好回答3个正确的概率；

(3)、假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛．求甲恰好回答5次被退出比赛的概率是多少？

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23. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{B Q} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ．

(1)、若 $D_{1} Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ ，求 $λ + μ$ 的值；

(2)、当三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 体积最大时，求点 $Q$ 位置，并求体积的最大值．

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