浙江省杭州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. “ $x y = 0$ ”是“ $x^{2} + y^{2} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $m \in (0 ， 1)$ ，若 $a = l g m$ ， $b = l g m^{2}$ ， $c = {(l g m)}^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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4. 函数 $y = x^{a} (x \geq 0)$ 和函数 $y = a^{x} (x \geq 0)$ 在同一坐标系下的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量 $y$ （单位： $m g$ ）随时间 $x$ （单位： $h$ ）的变化如图所示，在药物释放过程中， $y$ 与 $x$ 成正比；药物释放完毕后， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{8})}^{x - a} (a$ 为常数），则（）

A、当 $0 \leq x \leq 0.2$ 时， $y = 4 x$ B、当 $x > 0.2$ 时， $y = {(\frac{1}{8})}^{x - 0.1}$ C、 $\frac{23}{30}$ 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到 $0.25 m g$ 以下 D、 $\frac{13}{15}$ 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到 $0.25 m g$ 以下

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6. 已知 $\vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}} ， … ， \vec{a_{n}}$ 是单位平面向量，若对任意的 $1 ⩽ i < j ⩽ n (n \in N^{*})$ ，都有 $\vec{a_{i}} \cdot \vec{a_{j}} < \frac{1}{2}$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为 $\frac{1}{4}$ ，记 $∠ A B C = θ$ ，则 $\frac{s i n θ - 2 c o s θ}{c o s θ + s i n θ}$ 的值为（）

A、-1 B、-2 C、0 D、1

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8. 设函数 $y = f (x) (x \neq 0)$ ，对于任意正数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都 $\frac{x_{2}^{3} f (x_{1}) - x_{1}^{3} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ．已知函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 成中心对称，若 $f (1) = 1$ ，则 $f (x) ⩽ x^{3}$ 的解集为（）

A、 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1]$ B、 $(- \infty ， - 1] ∪ (0 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 1] ∪ [1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0) ∪ [1 ， + ∞)$

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二、多选题

9. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x > 6}$ D、不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$

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10. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = (1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边，（）

A、若 $\frac{a}{s i n B} = \frac{b}{s i n A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $a = b s i n C + c c o s B$ ，则 $∠ C = \frac{π}{4}$ D、若 $t a n A + t a n B + t a n C < 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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三、填空题

13. 设 $a = l o g_{3} 4$ ，则 $3^{2 a} =$ ．

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14. 函数 $y = c o s (\frac{π}{2} + x) c o s x - c o s^{2} x$ 的最小正周期为．

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15. “牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为 $4 ： π$ ，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为．

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16. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 以每秒 $\frac{π}{2}$ 的角速度从点 $A$ 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到 $B$ ，再以每秒 $\frac{π}{3}$ 的角速度从点 $B$ 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点 $O$ ，则上述过程中动点 $P$ 的纵坐标 $y$ 关于时间 $t$ 的函数表达式为.

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四、解答题

17. 筒车是我国古代发明的一种水利工具．如图筒车的半径为 $4 m$ ，轴心 $O$ 距离水面 $2 m$ ，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒 $P$ 从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、将点 $P$ 距离水面的距离 $z$ （单位： $m$ ．在水面下时 $z$ 为负数）表示为时间 $t$ （单位：分钟）的函数；

(2)、已知盛水筒 $Q$ 与 $P$ 相邻， $Q$ 位于 $P$ 的逆时针方向一侧．若盛水筒 $P$ 和 $Q$ 在水面上方，且距离水面的高度相等，求 $t$ 的值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = a (s i n C + c o s C)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、在① $a = 2$ ， ② $B = \frac{π}{3}$ ， ③ $c = \sqrt{2} b$ 这三个条件中，选出其中的两个条件，使得 $△ A B C$ 唯一确定．并解答之．
若______，________，求 $△ A B C$ 的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $C A = 1 ， C B = 2 ， ∠ A C B = 6 0^{∘} .$

(1)、求 $B$ ；

(2)、已知点 $D$ 是 $A B$ 上一点，满足 $\vec{A D} = λ \vec{A B} ，$ 点 $E$ 是边 $C B$ 上一点，满足 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ，是否存在非零实数 $λ$ ，使得 $\vec{A E} ⊥ \vec{C D}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20. 已知 $f (l o g_{2} x) = a x^{2} - 2 x + 1 - a ， a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于x的方程 $f (x) = (a - 1) \cdot 4^{x}$ .

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21. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2} ， C D = \sqrt{2} ， A D = 1$ ，在等腰梯形 $C D E F$ 中， $E F = 2 \sqrt{2} ， D E = \sqrt{5}$ ，将等腰梯形 $C D E F$ 沿 $C D$ 所在的直线翻折，使得 $E$ ， $F$ 在平面 $A B C D$ 上的射影恰好与 $A ， B$ 重合．

(1)、求证：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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22. 数学家发现： $s i n x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots$ ，其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ ．利用该公式可以得到：当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $s i n x < x ， s i n x > x - \frac{x^{3}}{3!} ； s i n x < x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} ； \dots$

(1)、证明：当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $\frac{s i n x}{x} > \frac{1}{2}$ ；

(2)、设 $f (x) = m s i n x$ ，当 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ 时，值域也为 $[a ， b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“和谐区间”．当 $m = - 2$ 时， $f (x)$ 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 $f (x)$ 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．

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