新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. $365 °$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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2. 若复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、－2 B、1 C、2 D、 $2 i$

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3. 下列四个向量中，与向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ 共线的是（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(4 ， - 6)$ D、 $(4 ， 6)$

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4. 下列几何体中为棱柱的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $A (\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $s i n α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设平面向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、3

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7. 已知复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知 $m$ ， $n$ 为直线， $α$ 为平面，若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m$ 与 $n$ 的位置关系是（）

A、平行 B、相交或异面 C、异面 D、平行或异面

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9. 将圆锥的高缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，底面半径扩大到原来的2倍，则圆锥的体积（）

A、缩小到原来的一半 B、缩小到原来的 $\frac{1}{6}$ C、不变 D、扩大到原来的2倍

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10. 在正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则 $\vec{F G} =$ （）

A、 $\frac{5}{6} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{D B}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{D B}$ C、 $\frac{5}{6} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{D B}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{D B}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n x - c o s x + | s i n x + c o s x |$ ，下列结论中错误的是（）

A、函数图象关于直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 对称 B、在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ 上是增函数 C、函数是周期函数，最小正周期是 $2 π$ D、函数的值域是 $[- \sqrt{2} ， 2]$

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12. 在六面体 $A B C D - E F G H$ 中，已知四边形 $A B C D$ 与 $E F G H$ 都是矩形，平面 $A B C D ∥$ 平面 $E F G H$ ，它们之间的距离为1， $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $E H = \sqrt{15}$ ， $E F = \sqrt{5}$ ，若六面体 $A B C D - E F G H$ 有外接球，则该六面体的外接球的体积为（）

A、12π B、24π C、36π D、48π

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二、填空题

13. 将函数 $y = c o s x$ 的图像向平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，可以得到函数 $y = c o s (x - \frac{π}{3})$ 的图像．

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14. 若正方体的表面积为 $12 ，$ 则其体积为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B O$ 为边 $A C$ 上的中线， $G$ 为 $△ A B C$ 所在平面上一点，满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，设 $\vec{C D} ∥ \vec{A G}$ ，若 $\vec{A D} = \frac{1}{5} \vec{A B} + λ \vec{A C} (λ \in R)$ ，则 $λ$ 的值为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，记角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，则 $\frac{S}{b^{2} + 2 a c}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知 $x$ ， $y$ 是实数， $i$ 为虚数单位，且 $(x + y) + (y - 1) i = (2 x + 3 y) + (2 y + 1) i$ ，求 $x$ ， $y$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6}) + a$ ， $a$ 为常数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、设 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，若函数 $f (x)$ 的最小值为-2，求 $a$ 的值．

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19. 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．

求证：

(1)、A₁B₁∥平面DEC₁；

(2)、BE⊥C₁E ．

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20. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 3)$ ．

(1)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ 的值．

(2)、设向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的值．

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21. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，把 $Δ A D E$ 沿 $A E$ 翻折，满足 $A D ⊥ B E$ .

(1)、求证：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - D$ 的余弦值.

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22. 已知向量 $\vec{a} = (c o s x ， c o s^{2} x)$ ， $\vec{b} = (s i n (x + \frac{π}{3}) ， - \sqrt{3})$ ．设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间．

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时，方程 $2 f (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} m - 1$ 有两个不等的实根，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若方程 $f (x) = \frac{1}{3}$ 在 $(0 ， π)$ 上的解为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $c o s (x_{1} - x_{2})$ ．

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