山东省2021-2022学年高一下学期数学选课走班质量检测试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $z i^{103} = 2 - i$ ，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 $4 ： 4 ： 5$ ，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（）

A、40 B、50 C、80 D、100

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3. 小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的 $60 %$ 分位数是（）

A、12 B、11.5 C、11 D、7

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4. 水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图是一个长为3，宽为 $\sqrt{2}$ 的矩形，则四边形ABCD的实际面积为（）

A、12 B、6 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{6}$ ， $A = \frac{π}{4}$ ， $B = \frac{5 π}{12}$ ，则 $c =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = A C = 4$ ，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{14 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{10 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$

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7. 衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且 $B C = 2 D E$ ， $A B = A C$ ， $∠ C D E = \frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{C E} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{C A} + 2 \vec{C D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{C A} + 3 \vec{C D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{C A} + 2 \vec{C D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{C A} + 3 \vec{C D}$

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8. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，则异面直线 $A_{1} D$ 和 $B_{1} C$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{20}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{20}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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二、多选题

9. 某实验田种植甲､乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：
甲/kg
260
250
210
250
280
乙/kg
220
260
230
250
290
则（）

A、甲种水稻产量的众数为250 B、乙种水稻产量的极差为70 C、甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数 D、甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

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10. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $B = \frac{π}{6}$ ， $c = 6 \sqrt{3}$ ，且△ABC有两解，则 $b$ 的值可能是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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11. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，现定义一种新运算： $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | s i n θ$ ．若 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ， $\vec{c} = (x_{3} ， y_{3})$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为 $\frac{\vec{a} \otimes \vec{b}}{| \vec{a} |}$ B、 $\exists θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $\vec{a} \otimes \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ C、 $\vec{a} \otimes \vec{b} = |x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|$ D、 $\vec{a} \otimes (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \otimes \vec{b} - \vec{a} \otimes \vec{c}$

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12. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，三条棱 $P A ， P B ， P C$ 两两垂直，且 $P A = P B = P C = 2$ ，若点P，A，B，C均在球 O 的球面上，M 为球面上的一个动点，则（）

A、球 O 的表面积为 $8 π$ B、O 到平面 ABC 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、三棱锥 $M - P A B$ 体积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3} + 2}{3}$ D、存在点 M ，使 $M A ⊥$ 平面 ABC

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 3)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 若复数 $z$ 满足 $z + 2 - 2 i = | z | + 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ ．

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15. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c o s A = \frac{3}{5}$ ，若 $△ A B C$ 的面积为2，则当 $△ A B C$ 的周长取到最小值时， $\frac{b}{a} =$ ．

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16. 已知一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数为 $\frac{5}{7}$ ，方差2，则另外一组数据 $7 x_{1} + 1 ， 7 x_{2} + 1 ， ⋯ ， 7 x_{n} + 1$ 的平均数为，方差为．

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四、解答题

17. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ．

(1)、用 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 表示出一个与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 共线的非零向量；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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18. 疫情期间，某社区成立了由网格员、医疗人员、志愿者组成的采样组，上门进行核酸检测．某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄（单位：岁）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到的频率分布直方图如图所示．

(1)、求m的值；

(2)、估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的中位数；

(3)、估计需要上门核酸检测服务的老年人年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．

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19. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B D_{1}$ ．

(2)、若平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ．求三棱锥 $A_{1} - A B D$ 的表面积．

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20. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c o s^{2} C - c o s^{2} A + (s i n A + s i n B) s i n B = 0$ ．

(1)、求C；

(2)、若a，b为方程 $x^{2} - 10 x + 20 = 0$ 的两个实数根，且C的角平分线交AB于点D，求CD．

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21. 如图，在圆锥 $P O$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 为底面圆上的三个点， $O C / / A B$ ，且 $P O = 3 O C = 2 A B = 6$ ， $P E = 2 B E$ ．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A O$ ．

(2)、求四棱锥 $E - A B C O$ 的体积．

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22. 记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a c o s 3 B = b c o s A (4 c o s^{2} B - 1) ， B < \frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $\frac{A}{B}$ 的值；

(2)、求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围．

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甲/kg	260	250	210	250	280
乙/kg	220	260	230	250	290