江苏省扬州市2021-2022学年高一下学期数学期末适应性测试试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，E，F分别为 $A C ， B C$ 的中点，点D是线段 $A F$ （不含端点）内的任意一点， $\vec{A D} = m \vec{A B} + n \vec{A E}$ ，则（）

A、 $m \in (0 ， 1)$ B、 $n \in (0 ， 2)$ C、 $n = 2 m$ D、 $m + n = 1$

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2. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点 $O$ ，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，将角 $α$ 的终边绕 $O$ 点顺时针旋转 $\frac{π}{3}$ 后，经过点 $(- 3 ， 4)$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$ B、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$

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3. △ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量 $\vec{p} = (a + c ， b) ， \vec{q} = (b - a ， c - a)$ ，若 $\vec{p} ∥ \vec{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 设 $i$ 是虚数单位，复数 $z_{1} = i^{2022}$ ，复数 $z_{2} = \frac{5}{4 + 3 i}$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面上对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC， $A C = B C = 1$ ， $P A = B A = \sqrt{2}$ ， $P B = 2$ ．三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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6. 刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设 $O P = h$ ，过P点作平面PQRS平行于平面OABC． $O S = O O = r$ ，由勾股定理有 $P S = P Q = \sqrt{r^{2} - h^{2}}$ ，故此正方形PQRS面积是 $r^{2} - h^{2}$ ．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于 $h^{2}$ ．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为 $h^{2}$ ，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等

A、 $\frac{8}{3} r^{3}$ B、 $\frac{8}{3} r^{3} π$ C、 $\frac{16}{3} r^{3}$ D、 $\frac{16}{3} r^{3} π$

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7. 为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组 $[30 ， 40)$ ，第二组 $[40 ， 50)$ ，第三组 $[50 ， 60)$ ，第四组 $[60 ， 70)$ ，第五组 $[70 ， 80)$ ，第六组 $[80 ， 90]$ ，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（）

A、42.5分钟 B、45.5分钟 C、47.5分钟 D、50分钟

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8. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、丙与丁相互独立 C、甲与丁相互独立 D、乙与丙相互独立

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二、多选题

9. 已知事件A，B，且 $P (A) = 0.4 ， P (B) = 0.3$ ，则（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A ∪ B) = 0.4 ， P (A B) = 0.3$ B、如果A与B互斥，那么 $P (A ∪ B) = 0.7 ， P (A B) = 0$ C、如果A与B相互独立，那么 $P (A ∪ B) = 0.7 ， P (A B) = 0.12$ D、如果A与B相互独立，那么 $P (\bar{A} \cdot \bar{B}) = 0.42 ， P (\bar{A} B) = 0.18$

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10. 2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误的是（）

A、2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降 B、2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加 C、2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等 D、2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%

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11. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 \sqrt{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 16$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2$ C、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为60° D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为2 $\vec{a}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E是棱 $D D_{1}$ 的中点，F是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上的动点，且满足 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列结论中正确的是（）

A、平面 $A_{1} B E$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面面积为 $\frac{9}{2}$ B、点F的轨迹长度为 $\frac{π}{4}$ C、存在点F，使得 $B_{1} F ⊥ C D_{1}$ D、平面 $A_{1} B E$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成二面角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 如果复数 $z$ 满足 $| z + i | + | z - i | = 2$ ，那么 $| z + i + 1 |$ 的最小值是．

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14. 《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km

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15. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥 $D - A B C$ 为一个鳖臑，其中 $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $D A = A B = B C = 2$ ， $A M ⊥ D C$ ， M为垂足，则三棱锥 $M - A B C$ 的外接球的表面积为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $c = 2 a c o s B + a$ ，则 $\frac{s i n (B - A)}{s i n A s i n B}$ 的取值范围是.

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17. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 B C = 6$ ， $∠ A C B$ 为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且 $M N = 2$ ，若 $\vec{C M} \cdot \vec{C N}$ 的最小值为3，则 $c o s ∠ A C B =$ ．

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四、解答题

18. 在平面直角坐标系中，已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， - 1)$ ．

(1)、求 $| 3 \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b} ， \vec{n} = t \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求实数 $t$ 的值．

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19. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $c o s (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $s i n α$ 的值；

(2)、若 $- \frac{π}{2} < β < 0$ ， $c o s (\frac{β}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $α - β$ 的值．

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20. 2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格：
科目性别
物理
历史
合计
男
460
40
500
女
340
160
500
合计
800
200
1000

(1)、令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率 $P (A)$ ， $P (B)$ 的大小关系；

(2)、按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86，100］
[71，85］
[56，70］
[41，55］
[30，40］
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为 $\frac{Y_{2} - Y}{Y - Y_{1}} = \frac{T_{2} - T}{T - T_{1}}$ ，其中 $Y_{1}$ ， $Y_{2}$ 分别表示原始分区间的最低分和最高分， $T_{1}$ ， $T_{2}$ 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为 $Y_{1}$ 时，等级分为 $T_{1}$ ，原始分为 $Y_{2}$ 时，等级分为 $T_{2}$ ，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示：
①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间；
②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．

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21. 在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足 $b c o s \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{2}$ ， AD是△ABC的角平分线，求AD的长．

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22. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $D_{1}$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，平面 $A_{1} B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，异面直线 $B C_{1}$ 与 $A B_{1}$ 互相垂直.

(1)、求证：平面 $A_{1} D C / /$ 平面 $B D_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $C C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离为 $x$ ， $A_{1} C = A B_{1} = 6$ ，三棱锥 $A_{1} - A C D$ 的体积为 $y$ ，试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，当 $C C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离为多少时，三棱锥 $A_{1} - A C D$ 的体积取得最大值？并求出最大值.

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科目性别	物理	历史	合计
男	460	40	500
女	340	160	500
合计	800	200	1000

等级	A	B	C	D	E
人数比例	15%	35%	35%	13%	2%
赋分区间	[86，100］	[71，85］	[56，70］	[41，55］	[30，40］