江苏省南京市江宁区2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. $i^{2022}$ 的值为（）

A、1 B、－1 C、 $i$ D、 $- i$

查看试题解析
2. 数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）

A、6 B、6.5 C、7 D、5.5

查看试题解析
3. 设 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 为平面内一个基底，已知向量 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则 $k$ 的值是（）

A、2 B、1 C、－2 D、－1

查看试题解析
4. 已知圆锥的表面积等于12πcm² ，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）

A、1cm B、2cm C、3cm D、 $\frac{3}{2} c m$

查看试题解析
5. 设函数 $f (x) = 2^{x} + x - 5$ 在区间(k，k+1)( $k \in Z$ )内有零点，则k的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

查看试题解析
6. 已知 $s i n (α - \frac{π}{12}) = \frac{1}{4}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

查看试题解析
7. 《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪" $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A C ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A C = 1$ ，当“阳马”（即四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ ）体积为 $\frac{1}{3}$ 时，则“堑堵”即三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为（）

A、3π B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ， $s i n (A + C) = c o s A s i n C$ ， $S_{△ A B C} = 6$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11}{6} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{11}{12} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{11}{12}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列有关复数的说法正确的是（）

A、若复数 $z = \bar{z}$ ，则 $z \in R$ B、若 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 是纯虚数 C、若 $z$ 是复数，则一定有 ${| z |}^{2} = z^{2}$ D、若 $z_{1} ， z_{2} \in C$ ，则 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$

查看试题解析
10. 已知 $α ， β$ 是不同的平面， $m ， n$ 是不同的直线，则使得 $m / / n$ 成立的充分条件是（）

A、 $m / / α ， n / / α$ B、 $m / / α ， m \subset β ， α \cap β = n$ C、 $m ⊥ α ， n ⊥ α$ D、 $m / / α ， n \subset β ， α / / β$

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = 45 ° ， c = 2$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a = \sqrt{3} ， △ A B C$ 有两解 B、若 $a = 3 ， △ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则b的取值范围是 $(\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ D、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，则b的取值范围是 $(0 ， \sqrt{2})$

查看试题解析
12. 已知点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ 则下列选项正确的有（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A C}$ B、直线 $A O$ 过 $B C$ 边的中点 C、 $S_{△ A O B} ： S_{△ B O C} = 2 ： 1$ D、若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ，则 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = - \frac{3}{16}$

查看试题解析

三、填空题

13. $t a n 1 5^{∘} =$ .

查看试题解析
14. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为

查看试题解析
15. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为

查看试题解析
16. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - (\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})^{2}]}$ (其中 $S$ 为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)．在非直角 $△ A B C$ 中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若 $a = 3$ 且 $a = c (c o s B + \sqrt{3} c o s C)$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是，此时 $△ A B C$ 外接圆的半径为

查看试题解析

四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i$ ， $z_{2} = a + i$ ， $a \in R$ ，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知 $z_{1} \cdot z_{2}$ 为“理想复数”．

(1)、求实数 $a$ ；

(2)、定义复数的一种运算“ $\otimes$ ”： $z_{1} \otimes z_{2} = {\begin{array}{l} \frac{z_{1} + z_{2}}{z_{2}} ， | z_{1} | \geq | z_{2} | \\ \frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1}} ， | z_{1} | < | z_{2} | \end{array}$ ，求 $z_{1} \otimes z_{2}$ ．

查看试题解析
18. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在 $[40 ， 100]$ 内，将笔试成绩按照 $[40 ， 50)$ 、 $[50 ， 60)$ 、 $⋯$ 、 $[90 ， 100]$ 分组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；

(3)、若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．

查看试题解析
19. 已知 $α ， β$ 为锐角， $t a n α = 2 ， s i n (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $c o s 2 α$ 的值；

(2)、求 $β$ 的值．

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边， $\vec{m} = (2 b + c ， c o s C) ， \vec{n} = (- a ， c o s A)$ ，且 $\vec{m}$ $∥$ $\vec{n}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $A$ 角大小.

(2)、 $D$ 为 $B C$ 边上一点， $A D = 1$ ，且 ▲ ，求 $△ A B C$ 的面积.
（从① $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，② $D$ 为 $B C$ 的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）

查看试题解析
21. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，且面 $A B C ⊥$ 面 $B C D$ ， $C D ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ；

(2)、当 $A D$ 与平面BCD所成角为45°时，求二面角 $C - A D - B$ 的余弦值．

查看试题解析
22. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 6$ ， $P$ ， $Q$ 为边 $B C$ 上两点， $\frac{C P}{B P} = \frac{B Q}{Q C} = \frac{A B}{A C} = 2$ ， $∠ C A Q = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $A Q$ 的长；

(2)、过线段 $A P$ 中点 $E$ 作一条直线 $l$ ，分别交边 $A B$ ， $A C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，设 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C} (x y \neq 0)$ ，求 $x + y$ 的最小值．

查看试题解析