湖南省岳阳市平江县2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $z = \frac{4 + 3 i}{i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 3 - 4 i$ B、 $- 3 + 4 i$ C、 $3 - 4 i$ D、 $3 + 4 i$

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2. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{10}$

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3. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， $E ， F$ 分别为 $B C ， C D$ 的中点， $G$ 为 $E F$ 中点，则 $\overset{⇀}{A G} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A D}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$

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5. 已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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6. 已知圆柱 $O O_{1}$ 及其展开图如图所示，则其体积为（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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7. 设m，n是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ α$ 则 $m ⊥ n$ ；②若 $m ∥ n ， n ∥ α$ 则 $m ∥ α$ ；③若 $m ∥ n ， n ⊥ β ， m ∥ α$ 则 $α ⊥ β$ ；④若 $m ∩ n = A ， m ∥ α ， m ∥ β ， n ∥ α ， n ∥ β$ 则 $α ∥ β$ ．其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知三棱锥 $O - A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在以 $O$ 为球心的球面上，若 $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，且三棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $\sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的半径为（）

A、2 B、5 C、13 D、 $\sqrt{13}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 $m$ 被抽到的概率是0.1； B、已知一组数据1， 2， $m$ ， 6， 7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C、数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \dots ， 2 x_{10} - 1$ 的标准差为16.

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10. 对于 $△ A B C$ 有如下命题，其中错误的是（）

A、若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B < s i n^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $A B = \sqrt{3} ， A C = 1 ， B = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、P在 $△ A B C$ 所在平面内，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则P是 $△ A B C$ 的重心

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11. 若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则下列命题正确的是（）

A、直线BC与平面ABC₁D₁所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、点C到平面ABC₁D₁的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、异面直线D₁C和BC₁所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、三棱柱AA₁D₁- BB₁C₁外接球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥SO的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ D、若 $A B = B C$ ， E为线段AB上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $2 (\sqrt{3} + 1)$

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{15}$ ， $A = 3 0^{∘}$ ，则 $c =$ ．

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14. 已知 $A (2 ， 3)$ ， $B (4 ， - 3)$ ，点P在线段AB的延长线上，且 $| \vec{A P} | = \frac{3}{2} | \vec{P B} |$ ，则点P的坐标为.

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15. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (2 ， - 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模长是．

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点均在同一个球面上，底面 $Δ A B C$ 满足 $B A = B C = \sqrt{6}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m - 1) i$ ． $(m \in R)$

(1)、当复数 $z$ 为纯虚数时，求实数m值；

(2)、当复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．

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18. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{b} = (1 ， 2)$ ．

(1)、若 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{c} ∥ \vec{b}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{a} | = 3$ ，且 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值．

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19. 已知 $a, b, c$ 分别为△ABC三个内角A、B、C的对边， $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，△ABC 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b, c$ .

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， P A ⊥$ 底面 $A B C$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = P A = 2 ， B C = 3$ ，求 $A B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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21. 某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组： $[40 ， 50) ， [50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100)$ 后得到如图所示频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，求众数和第50百分位数；

(2)、用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在 $[70 ， 90)$ 分数段抽取的人数；

(3)、若甲成绩在 $[70 ， 80)$ ，乙成绩在 $[80 ， 90)$ ，求在（2）的条件下，甲、乙至少一人被抽到的概率．

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22. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)、若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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