河南省郑州市巩义、中牟、登封等六县2021-2022学年高一下学期数学期末测评试卷

试卷更新日期：2022-07-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，复数z满足 $(1 - i) z = i$ ，则 $| z + \frac{1}{2} |$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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2. 若数据 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ 的方差为2，则数据 $2 b_{1} + a$ ， $2 b_{2} + a$ ， $2 b_{3} + a$ ， $2 b_{4} + a$ （a为实数）的方差是（）

A、6＋a B、8 C、4＋a D、12

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3. 设非零向量 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ，满足 $| \vec{a} + \vec{b} | - | \vec{a} - \vec{b} | = 0$ ，则（）

A、 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ C、 $\vec{A B} = \vec{A C}$ D、 $| \vec{A B} | > | \vec{A C} |$

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4. 给定下列四个命题，其中真命题是（）

A、垂直于同一直线的两条直线相互平行 B、若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 C、垂直于同一平面的两个平面相互平行 D、若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

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5. 中国科协公布的一项调查显示，科技工作者每天平均工作时长为8.6小时，一天最长工作时间为16小时．高学历者每天作时间更长，睡眠缺乏情况严重，博士学历的科技工作者每天平均工作时间最长，为9.29小时．同时，博士和硕士学历的科技工作者每周花在运动上的时间都不足5小时，明显少于其他学历群体，科研人员的健康状况不容忽视．某大型研究所共有职工120人，对他们年龄和身体健康情况进行调查，其结果如下表：

	亚健康	健康	合计
35岁以下	40	30	70
35~50岁	27	13	40
50岁以上	8	2	10

现从该研究所职工中任取1人，则下列结论正确的是（）

A、该职工亚健康的概率小于0.6 B、该职工健康的概率大于0.5 C、该职工的年龄在50岁以上的概率大于0.1 D、该职工的年龄不低于35，岁身体健康的概率大于0.1

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6. 《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.2020年4月，被列入《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录（2020年版）》初中段．书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

A、14斛 B、22斛 C、36斛 D、66斛

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7. 同时抛四枚均匀的硬币，“至少出现一个反面朝上”的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{15}{16}$

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8. 根据如图所示的频率分布直方图，可以估计数据的中位数，众数与平均数，那么这三个数据的60%分位数为（）

A、12.5 B、13 C、13.5 D、14

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9. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则b的可能取值是（）

A、2 B、2.3 C、3 D、4

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10. $Δ A B C$ 的三个顶点所对的复数分别为 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3}$ ，复数z满足 $| z - z_{1} | = | z - z_{2} | = | z - z_{3} |$ ，则 $z$ 的对应点是 $Δ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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11. 已知 $\vec{A C} = (2 ， 4)$ ， $\vec{A B} = (k ， 1)$ ， $k \in Z$ ， $| \vec{A B} | \leq 4$ ，若△ABC是直角三角形，则k的值为（）

A、-1，-2或8 B、-1，-2或3 C、-2或3 D、-1或3

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12. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形， $P A = A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ P A B = 120 °$ ， $A B ∥ D C$ ， $D C = P C = 2$ ，则点P到平面ABCD的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 若复数 $z = a + i (a \in R)$ 与它的共轭复数 $\bar{z}$ 所对应的向量互相垂直，则 $a =$ ．

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14. 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用 $0 ， 1 ， 2 ， 3$ 代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
$\begin{array}{l} 232 & 321 & 230 & 023 & 123 & 021 & 132 & 220 & 001 \\ 231 & 130 & 133 & 231 & 031 & 320 & 122 & 103 & 233 \end{array}$

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为.

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15. 开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一.1961年，被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．某司机驾车行驶到M处，测得铁塔S在汽车的北偏东15°，与铁塔S相距20公里，汽车继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得铁塔在汽车的北偏东45°，则汽车的速度为公里/时．

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16. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为 $\frac{32}{3} π$ ，那么这个三棱柱的侧面积为，体积为．

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三、解答题

17. 设z是虚数， $ω = z + \frac{1}{z}$ 是实数，且 $- 1 < ω < 2$ ．

(1)、求z的实部的取值范围；

(2)、设 $u = \frac{1 - z}{1 + z}$ ，求证：u为纯虚数．

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18. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时.

(1)、求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)、求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率.

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19. 如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心， $P O ⊥$ 底面ABCD，E是PC的中点，Q是线段PC上的任意一点．求证：

(1)、 $A P ∥$ 平面BDE；

(2)、 $B D ⊥ A Q$

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20. 个税专项附加扣除的目的是让大部分人能够减轻纳税负担，对各种收入的人群都能起到一定的减税效果，共涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人、婴幼儿照顾等七项专项附加扣除．某学校具有高级职称、中级职称、初级职称的教师分别有72人，108人，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该学校上述教师中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)、应从具有高级职称、中级职称、初级职称的教师中分别抽取多少人?

(2)、抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的教师有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．具体享受情况如下表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ⅱ）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

	A	B	C	D	E	F
子女教育	〇	〇	×	〇	×	〇
继续教育	×	×	〇	×	〇	〇
大病医疗	×	×	×	〇	×	×
住房贷款利息	〇	〇	×	×	〇	〇
住房租金	×	×	〇	×	×	×
赡养老人	〇	〇	×	×	×	〇
婴幼儿照顾	〇	〇	×	×	〇	×

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21. 如图，三棱锥P-ABC中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = 1$ ， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ．

(1)、求三棱锥A-PBC的体积；

(2)、在线段PC上是否存在一点M，使得 $B M ⊥ A C$ ?若存在，求 $\frac{M C}{P M}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， AB＝8，点D在边BC上， $c o s ∠ A D C = \frac{1}{7}$ ， CD＝2．

(1)、求 $t a n ∠ B A D$ 的值；

(2)、求 $\frac{B D}{A C}$ 的值．

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