云南省曲靖市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = \pm 2$ B、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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3. 某校九年级（1）班全体学生2021年初中学业水平体育考试成绩统计如下表：
成绩（分）
35
39
42
44
45
48
50
人数（人）
3
6
7
7
10
8
9
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）

A、该班一共有50名学生 B、该班学生这次考试成绩的众数是45分 C、该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D、该班学生这次考试成绩的平均数是45分

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4. 已知一次函数 $y = (k - 2) x + b$ 的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（）

A、 $k \geq 2$ B、 $k \leq 2$ C、 $k > 2$ D、 $k < 2$

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，连接 $A C$ ，若 $∠ A B C = ∠ C A D = 60 °$ ， $A B = 3$ ，则 $A D$ 的长是（）

A、3 B、6 C、9 D、18

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6. 已知点 $A (- 2 ， y_{1})$ 和点 $B (4 ， y_{2})$ 都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 上，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、不能确定

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7. 按一定规律排列的单项式a， $- 2 \sqrt{2} a^{2}$ ， $3 \sqrt{3} a^{3}$ ， $- 8 a^{4}$ ， …，第n（n为正整数）个单项式是（）

A、 $(- 1)^{n} n \sqrt{n} a^{n}$ B、 $(- 1)^{n + 1} n \sqrt{n} a^{n}$ C、 $(- 1)^{n} (n + 1) \sqrt{n} a^{n}$ D、 $(- 1)^{n + 1} (n + 1) \sqrt{n} a^{n}$

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8. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形 $A B C D$ 的内角，变为菱形 $A B C' D'$ ，若 $∠ D' A B = 45 °$ ，则阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{5 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $5 - \sqrt{2}$ C、 $\frac{5 + 2 \sqrt{2}}{2}$ D、 $5 - 2 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 在函数 $y = \sqrt{x - 5}$ 中，自变量x的取值范围是．

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10. 甲、乙两名射击手的40次测试的平均成绩都是8环，方差分别是 $S_{甲}^{2} = 0.2$ ， $S_{乙}^{2} = 1.0$ ，则成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）．

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11. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为 $\sqrt{6}$ 时，则输出的值为．

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12. 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的高为．

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13. 在平面直角坐标系中，将函数 $y = 2 x$ 的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点的坐标为．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 16$ ，点D在 $B C$ 边上，连接 $A D$ ，若 $A D = \sqrt{37}$ ，则线段 $B D$ 的长为．

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三、解答题

15. 计算： $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{3} - 1)^{2} + \sqrt{12} - (3 - π)^{0}$

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别在 $A B$ ， $D C$ 上，且 $A E = C F$ ．
求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形．

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17. 2021年4月29日，在我国海南文昌航天发射场，长征五号B遥二运载火箭搭载“天和”核心舱发射升空，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得 $B D$ 的距离是 $4 k m$ ， $∠ A D B = 30 °$ ；当火箭到达C点时，测得 $∠ A D C = 45 °$ ，求火箭从B点上升到C点的高度 $B C$ ．（结果保留根号）

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18. 阅读材料：像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ．

解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{7}$ 的有理化因式是； $\sqrt{5} + 2$ 的有理化因式是；

(2)、观察下面的变形规律，请你猜想： $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ．
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ …

(3)、利用上面的方法，请化简：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2021}}$

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19. 某中学为了丰富学生课余生活，现欲开展学校社团活动，准备组建国学、篮球、摄影、编程四个社团，全校学生共有1800名，每位学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计参加各个社团的人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完整的统计图．
根据图中的信息，完成下列问题：

(1)、本次调查的学生数为人，并补全条形统计图；

(2)、求m的值和“摄影”所在扇形圆心角的度数；

(3)、请你估计全校有多少名学生参加编程社团活动．

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20. 近几年，曲靖市的特色水果种植发展势头良好．尤其是车厘子与蓝莓深受广大市民喜爱．某水果商看到商机，以车厘子每千克45元，蓝莓每千克20元的价格，购进两种水果共计120千克．并以车厘子每千克52元，蓝莓每千克30元全部售出（不计损耗），设购进车厘子x千克，售出两种水果的利润为y元．

(1)、求y与x之间的关系式；

(2)、若蓝莓的进货量不超过车厘子进货量的3倍，如何进货才能使水果商获得的利润最大，最大利润是多少？

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $A C ⊥ B D$ ，过点A作 $A E ⊥ B C$ ，交 $C B$ 延长线于点E，过点C作 $C F ⊥ A D$ ，交 $A D$ 延长线于点F．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是矩形；

(2)、连接 $O E$ ，若 $A E = 4$ ， $A D = 5$ ，求 $O E$ 的长．

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22. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象分别与x轴和y轴相交于C、 $A (0 ， 3)$ 两点，且与正比例函数 $y_{2} = - 2 x$ 的图象交于点 $B (- 1 ， m)$ ．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，直接写出自变量x的取值范围；

(3)、点D是一次函数图象上一点，若 $S_{△ O C D} = 2 S_{△ O C B}$ ，求点D的坐标．

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23. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，过点B作 $B G ⊥ A E$ 于点H，交 $C D$ 于点G．

(1)、求证： $A E = B G$ ；

(2)、如图2，连接 $A G$ 、 $G E$ ，点M、N、P、Q分别是 $A B$ 、 $A G$ 、 $G E$ 、 $E B$ 的中点，试判断四边形 $M N P Q$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，点F、R分别在正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $C D$ 上，把正方形沿直线 $F R$ 翻折，使得 $B C$ 的对应边 $B' C'$ 恰好经过点A，过点A作 $A O ⊥ F R$ 于点O，若 $A B' = 1$ ，正方形的边长为3，求线段 $O F$ 的长．

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成绩（分）	35	39	42	44	45	48	50
人数（人）	3	6	7	7	10	8	9