浙江省温州市十五校联合体2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | 1 < x < 4} ， Q = {x | | x | < 2}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 4}$ C、 ${x | 2 < x < 4}$ D、 ${x | - 2 < x < 2}$

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2. 设 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则z的共轭复数的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2} i$

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3. 已知a，b是实数，则“ $a | b | > 4$ ”是“ $a + | b | > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s α - s i n α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 我市某三甲医院为了响应防疫政策，需要从4名内科医师和4名外科医生中派选4名医生到高速路口进行核酸检测工作，则派选内科医生人数不少于外科医生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{17}{70}$ C、 $\frac{53}{70}$ D、 $\frac{61}{70}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{s i n 2 x}{e^{x} - 1}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若方程 $| l g (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) | = t$ 有三个不同的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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8. 如图，在正四面体 $P - A B C$ 中，点E，F分别是棱 $A B ， A C$ 上的点（不含端点）， $A E = \frac{1}{4} A B$ ，记二面角 $P - E F - B$ 的大小为 $θ$ ，在点F从点A运动到点C的过程中，下列结论正确的是（）

A、 $θ$ 一直增大 B、 $θ$ 一直减小 C、先增大后减小 D、先减小后增大

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二、多选题

9. 下列函数既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = 2^{| x |}$ B、 $f (x) = x^{- 2}$ C、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 2^{x^{2} + 2}$

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10. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，顶点A在底面 $B C D$ 的射影为O，则下面说法正确的是（）

A、若O为 $△ B C D$ 的外心，则 $A B = A C = A D$ . B、若O为 $△ B C D$ 的内心，则三个侧面与底面所成的二面角都相等. C、若O为 $△ B C D$ 的垂心，则B在对面 $A C D$ 的射影是 $△ A C D$ 垂心. D、若O为 $△ B C D$ 的重心，则三个侧面面积相等.

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，则下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $s i n 2 A > s i n 2 B$ B、若 $a > b$ ，则 $c o s 2 A < c o s 2 B$ C、若 $a + c = 2 b$ ，则B的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、若 $a c = b^{2}$ ，则B的最大值为 $\frac{π}{3}$

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12. 已知 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 1$ ，若存在 $m ， n \in R$ ，使得 $\vec{a} = m \vec{A B} + \vec{O A}$ ， $\vec{b} = n \vec{A B} + \vec{O B}$ ，满足 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{1}{2} = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{A B} |$ 的值可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} - 2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为减函数，则 $f (2) =$ .

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14. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 垂直底面 $A B C$ ， $A P = 6$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{5}$ ，若三棱锥的内切球半径为 $\frac{3}{2}$ ，则此三棱锥的侧面积为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 6 ， S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} ， 2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，则 $A D$ 长为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x ， \frac{1}{2} < x \leq 2 \\ l n (x - 1) ， x > 2 \end{array}$ ，当 $x \in (\frac{1}{2} ， + \infty)$ 时，函数 $g (x) = f (f (x) + \frac{1}{4}) - m$ 有6个不同的零点，求m的取值范围.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) - c o s^{2} x + s i n^{2} x ， x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 求函数的最小正周期及对称中心.

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 值域.

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18. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $A B ⊥ B C ， S A = A B = B C = 2$ ，点O､M分别是 $A C$ ､ $B C$ 的中点， $S O ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $S O M$ ；

(2)、求直线 $A S$ 与平面 $S O M$ 所成角的大小.

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19. 北京2022年冬奥会吉祥物冰墩墩，作为北京冬奥会当之无愧的“顶流”，热度一直未减.自2022年冬奥会开始，一系列冰墩墩特许商品新品开始发售.根据百度网站统计：2022年1月28日至2022年2月22日购买冰墩墩人群分布图如下图.

(1)、求出频率分布直方图中购买者年龄的众数､平均数；（近似到个位数）

(2)、若将年龄 $[30 ， 40) 、 [40 ， 50) 、 [50 ， 60]$ 分别记为A组､B组､C组，用随机抽样的方法从这些人抽取3人，求这三个人至少2人在A组的概率.

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20. 在① $\frac{b}{a} = \frac{c o s B + 1}{\sqrt{3} s i n A}$ ， ② $2 b s i n A = a t a n B$ ， ③ $(a - c) s i n A + c s i n (A + B) = b s i n B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若____.

(1)、求角B；

(2)、若 $a = 2 ， c = 3$ ，点D在 $△ A B C$ 外接圆上运动，求 $\vec{B D} \cdot \vec{B C}$ 的最大值.

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21. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C$ ， E为线段 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ ， M为线段 $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $B M / /$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、当平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C D$ ，求平面 $M D E$ 和平面 $D E C$ 夹角的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = a + 1 - | x - a | ， g (x) = a x^{2} - x + 1$ ，其中实数 $a > 0$ .

(1)、当 $x \in [2 ， 4]$ 时， $f (x)$ 的最小值为2，求实数a的值.

(2)、记 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，设 $F (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，若 $F (x) \leq \frac{1}{2}$ 恒有解，求实数a的取值范围.

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