浙江省丽水市2021-2022学年高二下学期数学普通高中教学质量监控（期末）试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b})$ // $(2 \vec{a} + k \vec{b})$ ，则实数 $k$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知角 $α$ 终边经过点 $(- 1 ， m)$ ，且 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\pm \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5. 如图，在三棱锥 $M - A B C$ 中， $M A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $M A = 2 \sqrt{3}$ ， $F$ 是 $M C$ 的中点，则异面直线 $M B$ 与 $A F$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{5}{8}$

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6. 函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{s i n 6 x}{2^{- x} - 2^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{c o s 6 x}{2^{x} - 2^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{c o s 6 x}{| 2^{x} - 2^{- x} |}$ D、 $f (x) = \frac{s i n 6 x}{| 2^{x} - 2^{- x} |}$

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $A = 3 0^{∘} ， a = 3 ， b = 4$ ，则 $△ A B C$ 有唯一解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A + s i n B > c o s A + c o s B$ D、若 $A = 6 0^{∘} ， a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，若 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ， $| \vec{c} - 2 (\vec{a} + \vec{b}) | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{c} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、多选题

9. 抛掷三枚质地均匀的硬币，若事件：“三个正面都朝上”，“恰好两个正面朝上”，“至少两个正面朝上”的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $P_{2} < P_{3}$ B、 $P_{1} = P_{2} = \frac{1}{4}$ C、 $P_{1} + P_{2} = P_{3}$ D、 $P_{1} + P_{2} + P_{3} < 1$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n x + | c o s x |$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E ， F$ ，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥ A F$ B、直线 $A E$ 与平面 $B E F$ 所成的角为定值 C、二面角 $A - E F - B$ 的大小为定值 D、三棱锥 $E - A B F$ 的体积为定值

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12. 已知直线 $y = 2 - x$ 分别与函数 $y = e^{x}$ 和 $y = l n x$ 的图象交于点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} = 2 e$ C、 $x_{1} l n x_{2} + x_{2} l n x_{1} < 0$ D、 $x_{1} e^{x_{2}} - x_{2} e^{x_{1}} < 0$

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三、填空题

13. 设复数 $z = 1 - i$ ( $i$ 为虚数单位)， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\frac{3 - \bar{z}}{z}$ ＝.

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14. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，该几何体是由正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分构成的.已知棱长为2的正方体按上述方法截得的牟合方盖的体积是 $\frac{16}{3}$ ，则牟合方盖与截得它的正方体的内切球体积之比是.

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15. 在平面直角坐标系中，角 $α ， β$ $(0 < α < π ， - \frac{π}{2} < β < 0)$ 的终边分别与单位圆交于点 $A ， B$ ，若点 $B$ 的纵坐标为 $- \frac{3}{5}$ ， $△ O A B$ 的面积为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\sqrt{3} s i n \frac{α}{2} c o s \frac{α}{2} + c o s^{2} \frac{α}{2}$ ＝.

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16. 对任意的 $x \in (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，不等式 $3 x^{3} + (2 a - 1) x + a \sqrt{2 - 2 x^{2}} \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在 $[20 ， 50]$ 内的市民进行了调查，并将所选市民的年龄情况绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为 $[20 ， 25)$ ， $[25 ， 30)$ ， $[30 ， 35)$ ， $[35 ， 40)$ ， $[40 ， 45)$ ， $[45 ， 50]$ ）.

(1)、求选取的市民年龄在 $[40 ， 45)$ 内的人数；

(2)、研究人员从 $[30 ， 35)$ ， $[35 ， 40)$ 两组中用分层抽样的方法选取了5名市民准备召开座谈会.现在要从这5人中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的2人中至少有1人的年龄在 $[35 ， 40)$ 内的概率.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(2 c - b) c o s A = a c o s B$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，且________，求 $a$ .
请在① $b + c = \sqrt{3} a$ ；② $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ ；③ $| \vec{B A} + \vec{B C} | = | \vec{A C} |$ 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A B$ 是等边三角形， $A D$ // $B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2 A D = 2$ ， $F$ 是 $P C$ 中点.

(1)、求证： $D F$ //平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 定义向量 $\vec{m} = (a ， b)$ 的“相伴函数”为 $h (x) = a s i n x + b c o s x (x \in R)$ .已知向量 $\vec{n} = (c o s θ ， s i n θ) (0 < θ < \frac{π}{2})$ 的“相伴函数”为 $f (x)$ ，且 $f (\frac{π}{6}) = 1$ .

(1)、求函数 $y = {[f (x)]}^{2}$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) s i n x - k + \frac{3}{4}$ 在区间 $[0 ， \frac{5 π}{6}]$ 上有且仅有一个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + a (x \in R)$ .

(1)、若 $x \in (1 ， 3)$ 时，不等式 $l o g_{2} f (x) \leq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (2^{x} + 1) + (a + 2) | 2^{x} - 1 | + 8 = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{a}{x}$ ， $g (x) = x | x - a | - 2 x + 4$ $(a > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、对任意的 $x_{0} \in [1 ， 2]$ ，总存在 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in R$ （ $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 互不相等），使得 $f (x_{0}) = g (x_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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