浙江省嘉兴市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ， $B = {x | x - 2 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(0 ， + ∞)$

查看试题解析
2. 已知直线l、m和平面 $α$ ．若 $m \subset α$ ， $l \subset α$ ，则“ $l / / m$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-1 B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} + x}{3^{x} + 3^{- x}}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（）

A、108种 B、72种 C、36种 D、18种

查看试题解析
6. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} + a x + 1 ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) + a$ 在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， 0)$ C、 $[- 1 ， 0)$ D、 $(- \frac{4}{3} ， - 1]$

查看试题解析
7. 下列说法错误的是（）

A、当 $P (A) > 0$ 时，当且仅当事件A与B相互独立时，有 $P (B | A) = P (B)$ B、一元回归模型分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，当样本数据的线性相关程度越强时，样本相关系数r的值越接近于1 C、利用最小二乘法得到的经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必经过样本数据的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ D、由 $χ^{2}$ 进行分类变量独立性检验时，应用不同的小概率值 $α$ 会推断出不同的结论

查看试题解析
8. 已知实数 $a ， b \in (1 ， + \infty)$ ，且 $l o g_{2} a + l o g_{b} 3 = l o g_{2} b + l o g_{a} 2$ ，则（）

A、 $a < \sqrt{b} < b$ B、 $\sqrt{b} < a < b$ C、 $b < \sqrt{a} < a$ D、 $\sqrt{a} < b < a$

查看试题解析

二、多选题

9. 在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 六组后，得到频率分布直方图（如图），60分以下视为不及格，则下列说法正确的是（）

A、图中a的值为0.020 B、不及格的考生人数为15人 C、考生成绩的平均分（精确到0.1）约为70.5分 D、考生成绩的第60百分位数为75分

查看试题解析
10. 设复数z满足 $z (4 + 3 i) = 2 - i$ （其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、z的虚部为 $- \frac{2}{5} i$ B、z在复平面内对应的点位于第四象限 C、 $z + \bar{z} = \frac{2}{5}$ D、 $| z | = \frac{1}{5}$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x) = s i n 2 x - c o s 2 x$ ，下列判断正确的是（）

A、函数 $y = f (2 x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $y = f (x + \frac{π}{8})$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度所得的图象关于y轴对称，则 $φ$ 的最小值是 $\frac{π}{8}$

查看试题解析
12. 如图，在平面四边形 $A B D C$ 中， $A B = A C = B C = 2 C D = 2$ ， $D C ⊥ B C$ ， M为 $B D$ 的中点，现将 $△ D B C$ 沿 $B C$ 翻折，得到三棱锥 $D - A B C$ ，记二面角 $D - B C - A$ 的大小为 $α$ ， $α \in (0 ， π)$ ，下列说法正确的是（）

A、存在 $α \in (0 ， π)$ ，使得 $B D ⊥ A C$ B、存在 $α \in (0 ， π)$ ，使得 $A M ⊥ C D$ C、 $A M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值最大为 $\frac{\sqrt{11}}{11}$ D、记三棱锥 $D - A B C$ 外接球的球心为O，则 $| O M |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $c o s θ = \frac{1}{3}$ ， $θ \in (0 ， π)$ ，则 $s i n 2 θ =$ .

查看试题解析
14. 已知 $(x + 1) {(x - t)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ， t为常数， $a_{i} \in R (i = 0 ， 1 ， ⋯ ， 6)$ ，且 $a_{0} = - 32$ ，则 $a_{3} =$ .

查看试题解析
15. 已知随机变量X，Y分别满足 $X ∼ B (n ， p)$ ， $Y ∼ N (5 ， 4)$ ，且均值 $E (X) = E (Y)$ ，方差 $D (X) = D (Y)$ ，则 $p =$ .

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中，O是 $△ A B C$ 的外心，G是 $△ A B C$ 的重心，且 $\vec{O G} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{4} {\vec{B C}}^{2}$ ，则 $c o s ∠ A$ 的最小值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $3 a_{1} + a_{5} = a_{7}$ ， $a_{2} \cdot a_{3} = S_{5}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 一个袋子中有8个大小相同颜色不同的小球，其中4个红球，3个白球，1个黄球，从袋中任意取出3个小球.

(1)、求其中恰有2个小球颜色相同的概率；

(2)、设随机变量X为取出的3个小球中红球的个数，求X的均值和方差.

查看试题解析
19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a (s i n A + s i n B) + b s i n B = c s i n C$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $s i n A + s i n B = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$ ， $c = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E是 $A D$ 的中点， $∠ P D C = ∠ A D C = 120 °$ ， $A D = 2 C D = 2$ ， $P D = 4$ .

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B E$ 夹角的余弦值.

查看试题解析
21. 如图，已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .点 $M (0 ， 2 b)$ ，以 $O M$ 为直径作圆 $C_{2}$ ，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 于点A，B和点N.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、当 $△ N A B$ 的面积最大时，求直线 $A B$ 的方程.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a}{2} x^{2} + 1 (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），
（ⅰ）求证； $0 < a < e$ （ $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数）；
（ⅱ）若 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $| l n x_{1} - l n x_{2} | \geq \frac{l n 2}{2}$ ，求a的最大值.

查看试题解析