江苏省盐城市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 2022盐城马拉松“跑遍盐城”赛事分为全程、半程、 $10 k m 、 5 k m 、 3 k m$ 五个组别，合计15000人参赛，其中半程组6000人参赛， $10 k m 、 5 k m 、 3 k m$ 三个组合计5000人参赛，赛后运用分层抽样的方法抽取450人进行活动调研，则全程组应抽取（）

A、180人 B、150人 C、120人 D、330人

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2. 某校“校园歌手”比赛中，某选手获得的原始评分为， $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 去掉一个最高分和一个最低分后得到有效评分，则有效评分与原始评分相比较，一定不变的特征数是（）

A、众数 B、平均数 C、中位数 D、方差

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3. 若直线 $y = 3 x - 1$ 与双曲线 $C ： x^{2} - m y^{2} = 1$ 的一条渐近线平行，则实数m的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、9 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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4. 某几何体由共底面的圆柱和圆锥组合而成，圆柱的轴截面是正方形，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，若该几何体的体积为 $63 π$ ，则其表面积为（）

A、 $(45 + 18 \sqrt{2}) π$ B、 $(36 + 9 \sqrt{2}) π$ C、 $(54 + 9 \sqrt{2}) π$ D、 $(45 + 9 \sqrt{2}) π$

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5. 在平行四边形ABCD中， $\vec{A C} = \vec{a} ， \vec{D B} = \vec{b} ， \vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{7}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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6. 某班有甲、乙、丙、丁4名同学欲报名参加3个不同的数学类社团，若每位同学随机选择一个社团，则每个社团都有同学报名的概率为（）

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7. 四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球O的半径为2， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为矩形， $P A = A B = 2$ ，则平面PAD截球O所得的截面面积为（）

A、4π B、3π C、2π D、π

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8. 给四面体ABCD的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为（）

A、24 B、72 C、96 D、144

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二、多选题

9. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、第2项为 $60 x^{2}$ B、常数项为-160 C、所有项的二项式系数之和为64 D、存在x的一次项

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10. 近年来卫生机构医疗能力备受关注，下图是盐城市2011-2020年卫生机构床位数和医生人数统计数据，则（）

A、各年医生人数的25百分位数为15008 B、后五年中卫生机构床位数年增长速度最快的年份为2020年 C、每年卫生机构床位数增长率均高于医生人数增长率 D、卫生机构床位数与医生人数之间存在正相关关系

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11. 若 $P (A) = \frac{1}{2} ， P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、若A，B为互斥事件，则 $P (A + B) = \frac{5}{6}$ B、 $P (A + B) \geq \frac{5}{6}$ C、若A，B相互独立，则 $P (\bar{A B}) = \frac{1}{3}$ D、若 $P (B | A) = \frac{1}{3}$ ，则A，B相互独立

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是棱AD的中点， $A A_{1} = A D = 4 ， A B = 5$ ，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的边界及其内部运动，则（）

A、直线MP与直线 $D D_{1}$ 所成角的最大值为90° B、若 $∠ D_{1} M P = 6 0^{∘}$ ，则点P的轨迹为椭圆的一部分 C、不存在点P，使得 $A C$ ∥平面 $D_{1} P M$ D、若平面 $D_{1} P M$ 与平面ABCD和平面 $D_{1} P M$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

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三、填空题

13. 已知直线 $x - 2 y + a = 0$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 相切，则实数a的值为．

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14. 若随机变量 $Y ～ N (1 ， σ^{2}) ， P (0 < Y < 1) = 0.4$ ，则 $P (Y \leq 2) =$ ．

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15. 如图，圆O的半径为3，点C在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $A B = A D = 4 \sqrt{2} ， ∠ B A D = 90 °$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D}$ 的最小值为．

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = C C_{1} = 2$ ，点P在棱BC上运动，则过点P且与 $A_{1} C$ 垂直的平面 $α$ 截该三棱柱所得的截面周长的最大值为．

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四、解答题

17. 2022年6月5日神舟十四号发射升空，神舟十四号任务期间，将全面完成以天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱为基本构型的太空空间站建造等多项科研任务，并将继续开展天宫课堂．某校“航空航天”社团针对学生是否有兴趣收看天宫课堂进行了一项调查，获得了如下数据：

感兴趣
不感兴趣
合计
男生人数
29
3
32
女生人数
21
7
28
合计
50
10
60
参考公式：独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、是否有95%的把握认为“是否有兴趣收看天宫课堂与性别有关”？

(2)、从不感兴趣的10人中随机抽取两人做进一步宣传，设抽到的女生人数为X，求X的概率分布．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{2} = 2 ， b_{3} = 4 ， a_{1} = b_{1} ， a_{8} + 1 = b_{5}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n \neq b_{k} \\ b_{k} ， n = b_{k} \end{array}$ 其中 $k \in N^{*}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{20}$ 的值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $C D = 2 ， P D = A D = 1 ， P C = \sqrt{5}$ ，点E为线段PC的中点，且 $B C ⊥ D E$ ．

(1)、证明： $P D ⊥ A C$ ；

(2)、求直线PB与平面ADE所成角的正弦值．

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20. 已知某校高二年级共有600名男生，从中随机选取6名，其身高和体重如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
身高 $x (c m)$
164
166
168
170
172
174
体重 $y (k g)$
58
60
62
64
67
73
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、经分析，x与y之间存在较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)、判断高中男生的体重是否超标有一种简易方法，就是记身高的厘米数减去105所得差值为参考体重，一个人实际体重超过了参考体重，我们就说该人体重超标了．以频率估计概率，从该校高二年级男生中任选3人，记其中体重超标的人数为X，求X的概率分布与数学期望．

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21. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为 $1 + \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线 $l ： x + \sqrt{2} y - 3 = 0$ 上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．

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22. 函数 $f (x) = e^{2 x} + 2 m e^{x} + 2 x ， m \in R$

(1)、若 $m = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{e^{x_{1}} + e^{x_{2}}}$ 的取值范围．

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	感兴趣	不感兴趣	合计
男生人数	29	3	32
女生人数	21	7	28
合计	50	10	60

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

编号	1	2	3	4	5	6
身高 $x (c m)$	164	166	168	170	172	174
体重 $y (k g)$	58	60	62	64	67	73