河南省郑州市新郑市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”，即教师的名声与学生的水平之间有关联．下列能描述出生活中两种属性或现象之间关联的成语是（）

A、登高望远 B、亡羊补牢 C、目瞪口呆 D、袖手旁观

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2. 用反证法证明“已知直线a，b，平面 $α$ ，若 $a ⊥ α ， b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$ ”时，应假设（）

A、a，b相交 B、a，b异面 C、a，b不垂直 D、a，b不平行

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3. ${\int^{}}_{- e}^{- 1} \frac{1}{x} d x$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、不存在

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4. 已知复数z在复平面内对应的点为M， $\frac{z}{i}$ 在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知随机事件A，B的概率分别为 $P (A) ， P (B)$ ，且 $P (A) P (B) \neq 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $P (A | B) < P (A B)$ B、 $P (B | A) = P (A | B)$ C、 $P (B | A) = \frac{P (A | B) P (B)}{P (A)}$ D、 $P (B | B) = 0$

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6. ${(a^{2} + 3 b + 1)}^{5}$ 的展开式中 $b^{3}$ 的系数为（）

A、90 B、180 C、270 D、360

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7. 函数 $F (x) = \frac{t a n x}{x}$ 的大致图象是（）
参考公式：对于函数 $f (x) ， g (x)$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x = a$ 处可导，且 $f (a) = g (a) = 0$ ，则 $\underset{x \to a}{l i m} \frac{f (x)}{g (x)} = \underset{x \to a}{l i m} \frac{f^{^{'}} (x)}{g^{^{'}} (x)}$ ．

A、 B、 C、 D、

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8. 设平面凸多边形的周长为c，面积为s，内切圆半径为r，则 $r = \frac{2 s}{c}$ ．类比该结论，若多面体的各条棱长之和为C，表面积为S，体积为V，内切球半径为R，则 $R =$ （）

A、 $\frac{2 S}{C}$ B、 $\frac{2 V}{C}$ C、 $\frac{3 S}{C}$ D、 $\frac{3 V}{S}$

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9. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策路、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛最后，中国队有两名选手a，b，日本队有一名选手c，韩国队有一名选手d，规定a与c对阵，b与d对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，四位选手之间相互获胜的概率如下：

a
b
c
d
a获胜概率
/
0.5
0.6
0.8
b获胜概率
0.5
/
0.5
0.6
c获胜概率
0.4
0.5
/
0.4
d获胜概率
0.2
0.4
0.6
/
则最终中国队获得冠军的概率为（）

A、0.24 B、0.328 C、0.672 D、0.76

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10. 数432的不同正因数个数为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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11. 抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则（）

A、E与G相互独立 B、E与H相互独立 C、F与G相互独立 D、G与H相互独立

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12. 若 $e^{x} + x - 1 \geq a x + l n (a x + 1)$ 恒成立，则实数 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ， i是虚数单位，则 $| z \cdot \bar{z} + 3 z | =$ ．

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14. 为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:
甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；

丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.

已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是.

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15. 抽样表明某地区新生儿的体重近似服从正态分布 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ．现随机抽取r个新生儿进行体检，记 $ξ$ 表示抽取的r个新生儿的体重在 $(μ - 3 σ ， μ + 3 σ)$ 以外的个数，若 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ) \leq 0.04$ ，则r的最大值为．（注：若随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.997$ ）

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16. 已知曲线 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线与曲线 $y = x f (x)$ 在点 $(1 ， 2)$ 处的切线重合，则 $f (x) =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $(x - m) (3 x - 1)^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + ⋯ + a_{7} x^{7} (m \in R)$ ，且 $a_{1} = 19$ ．

(1)、求m和 $a_{0}$ 的值；

(2)、求 ${(a_{1} + a_{3} + a_{3} + a_{7})}^{2} - {(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6})}^{2}$ 的值．

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18. 为了研究黏虫孵化的平均温度 $x$ （单位： $° C$ ）与孵化天数 $y$ 之间的关系，重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：
组号
1
2
3
4
5
6
平均温度
15.3
16.8
17.4
18
19.5
21
孵化天数
16.7
14.8
13.9
13.5
8.4
6.2
他们分别用两种模型① $y = b x + a$ ， ② $y = c e^{d x}$ 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：
模型① 模型②
经计算得 $\bar{x} = 18$ ， $\bar{y} = 12.25$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 1283.01$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 1964.34$ ，
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程．（系数精确到0.1）
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e x ， e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、求证： $e^{x - 1} + 4 x l n x \geq 2 x^{2} - \frac{1}{x}$ ．

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20. 某公同为调查某产品的市场满意度，对市场进行调研测评，测评方式知下：从全体消费者中随机抽取1000人给该商品评分，得分在60分以下视为“不满意”，得分在区间 $[60 ， 80)$ 视为“基本满意”，得分在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给该商品的评分分组： $[20 ， 30) ， [30 ， 40) ， [40 ， 50) ， [50 ， (0) ， [(x) ， 7 (0) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90]$ ，得到如下频率分布直方图：

(1)、对评分为“基本满意”与“非常满意”的消费者进行跟踪调查，根据上述的统计数据补全 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有99.5%的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关．

基本满意
非常满意
总计
年龄 $\geq 30$
350
年龄 $< 30$
110
总计
800
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.005
$k_{0}$
3.841
6.635
7.879

(2)、从评分为“基本满意”和“非常满意”的消费者中用分层抽样的方法抽取8人，进行二次调查，对产品提出改进意见，并进行评比．最终有3人获奖（8人中每人是否获奖视为等可能的），求获奖消费者中评分为“基本满意”的人数X的分布列及数学期望．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ， $x \in [0 ， π]$ .

(1)、判断函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x s i n x$ 的单调性；

(2)、当 $a > \frac{1}{2}$ 时，判断函数 $h (x) = f (x) - a x s i n x$ 的零点个数.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - t ， \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{2}{1 + s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若点M，N分别在直线l和曲线C上，且直线 $M N$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求线段 $M N$ 长度的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - 2 | x - 2 | - 4 | x - t | (t \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(3 ， + \infty)$ 上单调递减，求实数t的取值范围；

(2)、若 $t > 2$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值．

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	a	b	c	d
a获胜概率	/	0.5	0.6	0.8
b获胜概率	0.5	/	0.5	0.6
c获胜概率	0.4	0.5	/	0.4
d获胜概率	0.2	0.4	0.6	/

组号	1	2	3	4	5	6
平均温度	15.3	16.8	17.4	18	19.5	21
孵化天数	16.7	14.8	13.9	13.5	8.4	6.2

	基本满意	非常满意	总计
年龄 $\geq 30$	350
年龄 $< 30$		110
总计			800

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.005
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879