河南省郑州市巩义，中牟，登封等六县2021-2022学年高二下学期文数期末测评试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = i - \frac{1}{i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）．

A、0 B、 $2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $- 1 + i$

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2. 若 $a > b > 0$ ， c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（）．

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a + c > b + c$

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3. 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，若点P的直角坐标为 $(- 1 ， 1)$ ，那么它的一个极坐标为（）．

A、 $(1 ， \frac{5 π}{4})$ B、 $(1 ， \frac{3 π}{4})$ C、 $(\sqrt{2} ， \frac{5 π}{4})$ D、 $(\sqrt{2} ， \frac{3 π}{4})$

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4. 在平面直角坐标系中，参数方程 ${\begin{array}{l} x = 1 - t^{2} \\ y = 1 + t^{2} \end{array}$ （ $t$ 是参数）表示的曲线是（）

A、一条直线 B、一条射线 C、一个圆 D、一条线段

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5. 若不等式 $| x - 2 | < a$ 成立的一个充分条件为 $0 < x < 1$ ，则实数a的取值范围是（）．

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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6. 函数y＝ $4 \sqrt{x - 3} + 3 \sqrt{7 - x}$ 的最大值为（）

A、5 B、8 C、10 D、12

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7. 下列说法中正确的是（）．

A、对于独立性检验，随机变量 $K^{2}$ 的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大 B、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{n} ， y_{n})$ ，样本数据的线性相关程度越强，则r越接近1 C、如果散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则 $R^{2} = 0$ D、若用反证法证明：若 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 0$ ，则 $x = y = 0$ ，应先假设 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$

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8. 某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， ……， $x_{7}$ ，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（）

A、 $i > 5$ ， 86 B、 $i \geq 5$ ， 87 C、 $i > 5$ ， 87 D、 $i \geq 5$ ， 86

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9. 2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地展开.某地交警部门加强执法管理期间，对某路口不带头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据（其中 $y$ 表示第 $x$ 天不戴头盔的人数）：
$x$
1
2
4
8
$y$
115
49
32
5
若 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = a + \frac{120}{x}$ ，则 $a =$ （）

A、-4 B、4 C、6 D、-6

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10. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x + y - 4 = 0$ ，曲线 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ > 0)$ ，若曲线 $C_{2}$ 分别交直线l和曲线 $C_{1}$ 于点A，B，则 $\frac{| O B |}{| O A |} =$ （）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知一个体积为8的圆柱，其底面半径为r，当其表面积最小时，r＝（）．

A、 $\sqrt[3]{\frac{2}{π}} MathType@MTEF@5@5@+=
feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDhatCvAUfeB
Sn0BKvguHDwzZbqegSSZmxoarqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqr
pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs
0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaai
aabeqaamaaeaqbaqaakeaadaGcbaqaamaalaaabaGaaGOmaaqaaiaa
bc8aaaaaleaacGaGacaae8pIZaaaaaaa@4419@$ B、 $\sqrt[3]{\frac{4}{π}}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{6}{π}}$ D、 $\sqrt[3]{\frac{8}{π}}$

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12. 如图，一个质点从原点出发，在与y轴，x轴平行的方向按 $(0 ， 0) \to (0 ， 1) \to (1 ， 1) \to (1 ， 0) \to (2 ， 0) \to (2 ， 1) \to (2 ， 2)$ …的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2022秒时，这个质点所处位置的坐标是（）．

A、 $(2 ， 44)$ B、 $(2 ， 43)$ C、 $(44 ， 2)$ D、 $(43 ， 2)$

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二、填空题

13. 已知复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ 满足 $| z - 1 | \leq 1$ ，则复平面内由点 $(x ， y)$ 形成的区域的面积为．

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14. 函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 |$ 的最小值为．

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15. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t c o s φ \\ y = 1 + t s i n φ \end{array}$ （t为参数， $0 \leq φ < π$ ），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ，若直线l与曲线C相交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为 $(1 ， 1)$ ，则直线l的倾斜角为．

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16. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《构建一朵雪花》这个节目开始后，一朵巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一朵雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．
若第1个图形中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为．

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三、解答题

17.

(1)、在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①： $z + \bar{z} = - 8$ ；②z为纯虚数；③z为非零实数．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
已知复数 $z = (m^{2} - 2 m - 3) + (m^{2} - 3 m - 4) i$ （i为虚数单位），若，求实数m的值；

(2)、已知 $x = 1 + i$ 是关于x的实系数一元二次方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根，求a，b的值．

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18.

(1)、已知 $a ， b > 0$ ， $a + b = 2$ ，求证： $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ；

(2)、已知 $a ， b ， c > 0$ ， $a + b + c = 1$ ，求证： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9$ ．

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19. 小明大学毕业后准备自主创业，他计划在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位： $m^{2}$ ）和日均客流量y（单位：百人）的数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 20)$ ，初步判断x与y线性相关，并计算得 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 2400$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 210$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 42000$ ， $\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6300$ ．
参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求y关于x的回归直线方程；

(2)、已知服装店每天的经济效益 $W = \sqrt{y} + 2 x$ ，该商场现有 $60 \sim 150 m^{2}$ 的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小明应该租多大面积的商铺？

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20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t \\ y = \sqrt{3} t - 1 \end{array}$ （t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ c o s θ + 3 = 0$ ．

(1)、求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)、若点P的坐标为 $(0 ， - 1)$ ，直线l与圆C相交于A，B两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 9 | - | x - 5 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集；

(2)、函数 $y = f (x) + 3 | x - 5 |$ 的最小值为m，正实数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = m$ ，求 $a + 3 b$ 的最小值．

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22. 网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查某地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间，（单位：h）按 $[1 ， 6)$ ， $[6 ， 11)$ ， $[11 ， 16)$ ， $[16 ， 21)$ ， $[21 ， 26]$ 分组，得到频率分布直方图如图所示．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的中位数（结果精确到0.01）；

(2)、按照分层抽样的方法从网课学习时间在 $[1 ， 6)$ 和 $[21 ， 26]$ 的学生中抽取5人，然后从这5名学生中随机抽取2人进行访谈，求这2名学生恰好来自不同组的概率；

(3)、为了了解学生与家长对上网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200名家长与学生进行调查，其中家长占总人数的一半，且不支持上网课的家长占总人数的35％，不支持上网课的学生占总人数的25％，请将下面列联表补充完整，并判断是否有99.5％的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．

支持上网课
不支持上网课
合计
家长
学生
合计
200

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	支持上网课	不支持上网课	合计
家长
学生
合计			200

$x$	1	2	4	8
$y$	115	49	32	5