河南省郑州市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

查看试题解析
2. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} f^{'} (- 2) x^{2} + 12 x - 6$ ，则 $f^{'} (- 2)$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析
3. 用反证法证明命题“设实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + b + c = 6$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 中至少有一个数不小于2”时假设的内容是（）

A、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都不小于2 B、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都小于2 C、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 至多有一个小于2 D、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 至多有两个小于2

查看试题解析
4. 已知 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ，若a，b， $c \in R$ ，且 $a + b < 0$ ， $a + c < 0$ ， $b + c < 0$ ，则 $f (a) + f (b) + f (c)$ 的值（）

A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定.

查看试题解析
5. 若离散型随机变量X的分布列如表所示，则a的值为（）
X
1
2
P
$4 a - 1$
$3 a^{2} + a$

A、 $\frac{1}{3}$ 或 $- 2$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-2 D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
10
20
30
40
50
销售额y/万元
62
75
81
89
根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为 $\hat{y} = 0.67 x + 54.9$ .现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（）

A、68 B、68.3 C、68.5 D、70

查看试题解析
7. 下列说法错误的是（）

A、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小 B、用相关指数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小说明拟合效果越好 C、某人每次投篮的命中率为 $\frac{3}{5}$ ，现投篮5次，设投中次数为随机变量 $ζ$ ，则 $E (2 ζ + 1) = 7$ D、对于独立性检验，随机变量 $K^{2}$ 的观测值k值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大

查看试题解析
8. 在一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $⋯$ ， $(x_{n} ， y_{n})$ （ $n \geq 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_{i} ， y_{i})$ $(i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ 都在直线 $y = - 3 x + 2$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

查看试题解析
9. 2022年，为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行，郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} - 9 x ， x \leq 0 \\ - x e^{- x} ， x > 0 \end{array}$ .若函数 $y = f (x) + a$ 恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{e} ， 5)$ C、 $(- 5 ， - \frac{1}{e})$ D、 $(0 ， \frac{1}{e})$

查看试题解析
11. 将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）种.

A、1560 B、1440 C、2640 D、2160

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = x l n x$ ，若 $f (a) = g (b) = t (t > 0)$ ，则 $\frac{1 - l n t}{a b}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、0 C、 $- \frac{1}{e}$ D、 $- \frac{2}{e^{3}}$

查看试题解析

二、填空题

13. 由直线 $y = x$ 和曲线 $y^{2} = x$ 所围图形的面积.

查看试题解析
14. 在某次高三联考中，学生的数学成绩服从正态分布 $N (95 ， 100)$ .已知参加本次考试的学生有10000人.则本次考试数学成绩大于105分的大约有人.
（参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ）

查看试题解析
15. 若曲线 $y = (x - 3) (x - 1) x (x + 1) (x + 2) + 4 l n (3 x + 1)] - 4 l n 4$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线与直线 $x = a y + 2$ 平行，则 $a =$ .

查看试题解析
16. 在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当 $n$ 依次取0、1、2、3、 $⋯$ 时 ${(a + b)}^{n}$ 展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{a_n}，例 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1 + 1$ ， $a_{3} = 1 + 2$ ， $⋯$ ，设数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2024} = m + 3$ ，则 $S_{2022} =$ .

查看试题解析

三、解答题

17. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 3 + i$ .

(1)、求复数 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 ${(z + a i)}^{2}$ 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.

查看试题解析
18. 用数学归纳法证明： $(n + 1) (n + 2) \cdot … \cdot (n + n) = 2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot … \cdot (2 n - 1) (n \in N^{*})$ ．

查看试题解析
19. 已知在 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中系数最大的项.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = x - (2 a + 1) l n x - \frac{2 a}{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求该函数在点 $(\frac{1}{2} ， f (\frac{1}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

查看试题解析

21. 某工厂生产一种产品测得数据如下：

尺寸 $x (m m)$	38	48	58	68	78	88
质量 $y (g)$	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
质量与尺寸的比 $\frac{y}{x}$	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

附：（1）参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} (l n x_{i} \cdot l n y_{i}) = 75.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (l n x_{i}) = 24.6$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (l n y_{i}) = 18.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(l n x_{i})}^{2} = 101.4$ .
（2）参考公式：对于样本 $(v_{i} ， u_{i})$ $(i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，其回归直线 $u = \hat{b} \cdot v + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \bar{v}) (u_{i} - \bar{u})}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{1}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{u} - \hat{b} \bar{v}$ ， $e \approx 2.7182$ .

(1)、若按照检测标准，合格产品的质量

y (g)

与尺寸

x (m m)

之间近似满足关系式

y = c \cdot x^{d}

（c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；

(2)、已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为

z = 2 y - 0.32 x

，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？

查看试题解析

22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} + 3 a x + 1$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若函数在区间 $[- 1 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，当 $1 \leq \frac{x_{2} + 3}{3 x_{1} + 9} \leq 3$ 时，证明： $2 l n 3 - 6 \leq x_{1} + x_{2} \leq \frac{5}{2} l n 3 - 6$ .

查看试题解析

X	1	2
P	$4 a - 1$	$3 a^{2} + a$

广告费用x/万元	10	20	30	40	50
销售额y/万元	62		75	81	89