河南省三门峡市2021-2022学年高二下学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $1 - \frac{1}{(1 + i)^{2}}$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有（）

A、2种 B、5种 C、8种 D、15种

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3. 有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，只能看到向上面的情况如图．对于命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证p的真假，至少要翻开的是（）

A、①④ B、①② C、①③ D、①③④

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4. 根据如下样本数据，得到回归方程 $\hat{y} = b x + a$ ，则（）
$x$
3
4
5
6
7
8
$y$
4.0
2.5
$- 0.5$
0.5
$- 2.0$
$- 3.0$

A、 $a > 0$ ， $b < 0$ B、 $a > 0$ ， $b > 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$

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5. 6人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（）

A、36种 B、72种 C、144种 D、288种

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6. 已知 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则 $n =$ （）

A、9 B、11 C、10 D、12

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7. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布N(2，25)，若P( $ξ$ >c)=P( $ξ$ <c-4)，则实数c的值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有 $2$ 位优秀， $2$ 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）

A、乙、丁可以知道自己的成绩 B、乙、丁可以知道对方的成绩 C、乙可以知道四人的成绩 D、丁可以知道四人的成绩

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9. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 $h$ ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 $h$ 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 在下列命题中，正确命题是（）

A、若 $z$ 是虚数，则 $z^{2} \geq 0$ B、若复数 $z^{2}$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若在复数集中分解因式，则有 $2 x^{2} - x + 1 = 2 (x - \frac{1 - \sqrt{7} i}{4}) (x - \frac{1 + \sqrt{7} i}{4})$ D、若 ${(z_{1} - z_{2})}^{2} + {(z_{2} - z_{3})}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = z_{3}$

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11. 我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（）

A、30 B、60 C、90 D、120

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12. 一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 $X$ ，则 $P (X \leq 2 \sqrt{2}) =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{18}$

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二、填空题

13. 若 $3 A_{n}^{3} = 2 n C_{n}^{2}$ ，则 $n =$ ．

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14. 已知复数z满足 ${(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} \times z = | 1 + \sqrt{3} i |$ ，则z= ．

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15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

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16. 如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第 $n$ 行第2个数是.

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三、解答题

17. 若 $(x + a) {(x - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，且 $a_{5} = 14$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、求 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{9}}{2^{8}}$ 的值．

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18. 在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付，出门不带现金的人数正在迅速增加．某机构随机抽取了一组市民，并统计他们各自出门随身携带现金(单位：元)的情况，制作出如图所示的茎叶图．规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．

(1)、根据茎叶图的数据，完成如下的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；

男性
女性
合计
手机支付族
非手机支付族
合计
45

(2)、从携带现金最多的10人中任取4人，求至少有2名男性的取法有多少种．

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19. 甲、乙两人玩如下游戏：两人分别拿出一枚硬币同时扣在桌子上(硬币的正反面自己决定，两人互不影响)，然后把手拿开，如果都是正面，则乙给甲3元，如果都是反面，则乙给甲1元，如果一正一反则甲给乙2元．如此进行下去，把频率当做概率．

(1)、若甲出正面的频率0.7，乙出正面的频率为0.5，甲、乙各出硬币一次，求甲的收益X的分布列及数学期望；

(2)、这个游戏多次进行下去，乙能否通过调整自己出正面的频率，使得无论甲出正面还是反面，自己都不会输？如果能，求出乙不输时出正面的频率的范围，如果不能，说明理由．

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20. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差 $x (^{∘} C)$
10
11
13
12
8
发芽数 $y$ （颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的 $3$ 组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

(1)、求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

(2)、若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(3)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

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21. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20

(1)、若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）

(2)、用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1：不分类卖出，单价为20元 $/ k g$ .
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

(3)、用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个， $X$ 表示抽取的是精品果的数量，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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22. 在直角坐标系xOy中，P（0，1），曲线C₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ ．

(1)、求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

(2)、曲线C₁与C₂交于M，N两点，求||PM|﹣|PN||．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - m | + | x - 2 |$ ．

(1)、若m＝0，求不等式 $f (x) \geq x + 2$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为3，求m的值．

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日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差 $x (^{∘} C)$	10	11	13	12	8
发芽数 $y$ （颗）	23	25	30	26	16

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
售价(元/kg）	16	18	22	24

$x$	3	4	5	6	7	8
$y$	4.0	2.5	$- 0.5$	0.5	$- 2.0$	$- 3.0$

	男性	女性	合计
手机支付族
非手机支付族
合计			45