河南省濮阳市2021-2022学年高二下学期理数学业质量监测（升级）考试试卷

试卷更新日期：2022-06-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2022} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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2. 命题：“ $\forall x > 0$ ， $e^{x} > 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $e^{x} \leq 1$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $e^{x} \leq 1$ C、 $\exists x > 0$ ， $e^{x} \leq 1$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $e^{x} \leq 1$

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $b = 4$ ， $c = 3$ ， $c o s B = - \frac{3}{5}$ ，则 $s i n C$ 的值等于（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表：
零件数x（个）
6
14
16
加工时间y（分钟）
10
15
20
现已求得上表数据的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中 $\hat{b}$ 的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工60分钟得到的零件数量约为（）

A、72 B、62 C、56 D、81

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5. 等比数列{an}中，若a₅＝9，则log₃a₄+log₃a₆＝（）

A、2 B、3 C、4 D、9

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6. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的一点 $M (x_{0} ， 1)$ 到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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7. 若 $x$ ， $y$ 满足 $l o g_{2} x = - l o g_{2} y$ ，则 $x + 4 y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、8 D、4

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8. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 5) = 0.7$ ，则 $P (1 < ξ < 3) =$ （）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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9. 在三位数中，形如“ $a b a$ ， $(b < a)$ ”的数叫做“对称凹数”，如：212，434， $\dots$ ，则在所有三位数中共有（）个对称凹数．

A、37 B、45 C、72 D、90

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10. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 $a_{n}$ 为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列 ${a_{n}}$ 的第n项，则 $a_{50}$ 的值为（）

A、1225 B、1275 C、1326 D、1362

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11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则 $D (X) =$ （）

A、4.5 B、2.5 C、1.5 D、0.45

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12. 已知 $O$ 为坐标原点，过曲线 $C ：$ $y = \ln x (0 < x < 1)$ 上一点 $P$ 作 $C$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $A$ ，则 $△ A O P$ 面积取最大值时，点 $P$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{\pm \sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{- \sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $- e$

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二、填空题

13. 在 ${(1 - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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14. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 3 - 4 i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$

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15. 一个质量为 $m = 3 k g$ 的物体做直线运动，设位移 $y$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位：秒）之间的关系为 $y (t) = 1 + t^{2}$ ，并且物体的动能 $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ ．则物体开始运动后第5秒时的动能为（单位： $J$ ）

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16. 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1： $\sqrt{3}$ ， AC=4，则△ABD面积的最大值为．

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三、解答题

17. 新高考按照“ $3 + 1 + 2$ ”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学，外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物，政治，地理四科中选择两科．某校为了解该校考生首选科目的选科情况，从该校考生中随机选择了100名考生进行调查，得到下面的列联表：

选择物理
不选择物理
男
46
14
女
20
20
假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、能否有99%的把握认为考生是否选择物理与性别有关?

(2)、已知该校有考生2200名，以上表中该校考生选择物理科目的频率代替该校考生选择物理科目的概率，估计该校考生选择物理作为首选科目的人数．

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18. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，上顶点为 $A (0 ， 1)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $P (0 ， \sqrt{3})$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，且 $| M N | = \frac{8 \sqrt{2}}{7}$ ，求 $k$ 的值．

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19. 这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.
① $a_{2} = 5$ ， $S_{n + 1} - 2 S_{n} + S_{n - 1} = 3 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ；
② $a_{2} = 5$ ， $S_{n + 1} = 3 S_{n} - 2 S_{n - 1} - a_{n - 1} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ；③ $\frac{S_{n}}{n} - \frac{S_{n - 1}}{n - 1} = \frac{3}{2} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ .
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且____.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n}$ 是 $a_{n}$ 、 $a_{n + 1}$ 的等比中项，求数列 ${\frac{1}{b_{n}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中 $20 k m$ 男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈 $4 k m$ ），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有 $n$ 发子弹未命中目标，将被罚时 $n$ 分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 和 $\frac{3}{4}$ .假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.

(1)、若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；

(2)、若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.

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21. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点.

(1)、若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；

(2)、若BE= $\sqrt{2}$ BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ ，试确定点F的位置.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - \frac{π}{2}) s i n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值和最小值；

(2)、设 $g (x) = a c o s x - f (x)$ ，若当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $g (x) \leq 0$ ，求实数a的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

零件数x（个）	6	14	16
加工时间y（分钟）	10	15	20

	选择物理	不选择物理
男	46	14
女	20	20