2022-2023学年高二下学期数学人教A版2019选择性必修第一册——空间向量及其线性运算课时作业

试卷更新日期：2022-06-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；③若空间向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$ ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.

其中假命题的个数是（）.

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列各式的运算结果为向量 $\vec{B_{1} D_{1}}$ 的是（）
① $\vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A} - \vec{A B}$ ；② $\vec{B C} + {\vec{B B}}_{1} - \vec{D_{1} C_{1}}$ ；③ $\vec{A D} - \vec{A B_{1}} + \vec{D D_{1}}$ ；④ $\vec{B_{1} D_{1}} - \vec{A A_{1}} + \vec{D D_{1}}$ ．

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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3. 已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 $\vec{CP}$ =2 $\vec{CA} + \vec{CB}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{OP} = \vec{OA}$ +2 $\vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$ B、 $\vec{OP}$ =-2 $\vec{OA} - \vec{OB}$ +3 $\vec{OC}$ C、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -3 $\vec{OC}$ D、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$

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4. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为M．设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a} ， \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b} ， \vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $2 \vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$

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5. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，P为 $△ B C D$ 内一点，若 $S_{△ P B C} = 1$ ， $S_{△ P C D} = 2$ ， $S_{△ P B D} = 3$ ，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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6. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M、N分别在线段OA、BC上，且 $2 O M = M A$ ， $C N = 2 N B$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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7. 已知 $A ， B ， C$ 三点不共线， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若由 $\vec{O M} = 3 \vec{O A} - \vec{O B} + λ \vec{O C}$ 确定的点 $M$ 与 $A ， B ， C$ 共面，则 $λ$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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8. 如图，四面体 $O$ - $A B C$ ， $G$ 是底面△ $A B C$ 的重心， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O G} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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二、多选题

9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则下列各式运算结果是 $\vec{A C_{1}}$ 的为（）.

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} + {\vec{A A}}_{1}$ B、 $\vec{A A_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}}$ C、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C_{1}}$ D、 $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{C C_{1}}$

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10. 在以下命题中，不正确的命题有（）

A、 $| \vec{a} | - | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ 是 $\vec{a} ， \vec{b}$ 共线的充要条件 B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + 2 \vec{O B} - 3 \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间的一个基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 构成空间的另一个基底

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11. 下列命题中是假命题的为（）

A、若向量 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，则 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面 B、若 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面，则 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b}$ C、若 $\vec{M P} = x \vec{M A} + y \vec{M B}$ ，则 $P$ ， $M$ ， $A$ ， $B$ 四点共面 D、若 $P$ ， $M$ ， $A$ ， $B$ 四点共面，则 $\vec{M P} = x \vec{M A} + y \vec{M B}$

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12. 给出下列命题，其中正确命题有（）

A、空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B、已知向量 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C、 $A, B, M, N$ 是空间四点，若 $\overset{⇀}{B A}, \overset{⇀}{B M}, \overset{⇀}{B N}$ 不能构成空间的一个基底，那么 $A, B, M, N$ 共面 D、已知向量 ${\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}}$ 组是空间的一个基底，若 $\overset{⇀}{m} = \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{c}$ ，则 ${\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{m}}$ 也是空间的一个基底

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三、填空题

13. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{D_{1} M}$ ，则 $\vec{D_{1} M} =$ .

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14. 已知空间的个基底 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}, \vec{m} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}, \vec{n} = x \vec{a} + y \vec{b} + \vec{c}$ ，若 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 共线，则 $x =$ ， $y =$ .

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15. 对于空间中的非零向量 $\overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{B C}$ ， $\overset{⇀}{A C}$ ，有下列各式：
① $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{A C}$ ；

② $\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{B C}$ ；

③ $| \overset{⇀}{A B} | + | \overset{⇀}{B C} | = | \overset{⇀}{A C} |$ ；

④ $| \overset{⇀}{A B} | - | \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{B C} |$ .

其中一定不成立的是（填序号）．

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16. 如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 $\overset{⇀}{E F} = 2 x \overset{⇀}{A V} + y \overset{⇀}{B C} (x > 0 ， y > 0)$ 则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 如图所示， $M$ 、 $N$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $C D$ 的中点.试判断向量 $\vec{M N}$ 与向量 $\vec{A D}$ 、 $\vec{B C}$ 是否共面.

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18. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且 $\frac{PH}{HC} = \frac{1}{2} ，$ 点G在AH上，且 $\frac{AG}{AH}$ =m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.

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19. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，G是 $△ A B C$ 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.

(1)、用向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，并证明你的结论；

(2)、设 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} ， x ， y ， z \in R$ ，请写出点P在 $△ A B C$ 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.

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20. 如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O P}$ 和 $\vec{O Q}$ .

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21. 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简 $\vec{A G} + \frac{1}{3} \vec{B E} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，并在图中标出化简结果的向量．

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22. 设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心，求证： $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ ．

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