江苏省南京市秦淮区2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-06-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 北京 2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的.在下面的四个图中，由下图经过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 据了解，新型冠状病毒（SARS﹣CoV﹣2）的最大直径大约是0.00000014米.数0.00000014用科学记数法表示为（）

A、1.4×10 $^{- 5}$ B、1.4×10 $^{- 6}$ C、1.4×10 $^{- 7}$ D、14×10 $^{- 7}$

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3. 如图，平行线AB ， CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（）

A、80° B、90° C、100° D、110°

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4. 若 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$ 是方程3x+ay＝5的解，则a的值是（）

A、1 B、﹣1 C、4 D、﹣4

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5. 已知 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a - 2 < b - 2$ B、 $a + 1 < b + 2$ C、 $\frac{1}{2} a > \frac{1}{2} b$ D、 $- 2 a > - 2 b$

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6. 已知 $a = {(- 3)}^{- 2} ， b = {(- 3)}^{- 1} ， c = {(- 3)}^{0}$ ，那么a，b，c之间的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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7. 对于命题“若a²＞b² ，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）

A、a=3，b=2 B、a=-3，b=2 C、a=3，b=-1 D、a=-1，b=3

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8. 一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，小明和小丽采用两种不同的方法：小明对纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=50°；小丽对纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合. 则下列判断正确的是（）

A、纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 B、纸带①、②的边线都平行 C、纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 D、纸带①、②的边线都不平行

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二、填空题

9. 计算 $a^{2} \cdot a^{3}$ 的结果是.

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10. 分解因式 $2 x^{2} - 18$ 的结果是.

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11. 如图，点D在 $B C$ 的延长线上， $D E ⊥ A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F，若 $∠ A = 35^{\circ}$ ， $∠ D = 15^{\circ}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为．

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12. 一个多边形的内角和与外角和之和为900°，则这个多边形的边数为.

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13. 若 $a + b = 8 ， a b = - 2$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ .

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14. 已知a+b＝4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是.

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15. 如图，6块同样大小的长方形复合地板刚好拼成一个宽为 $30 c m$ 的大长方形，则这个大长方形的长是 $c m$ .

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，E是 $B C$ 上的一点， $E C = 2 B E$ ， D是 $A C$ 的中点，且 $S_{△ A B C} = 6$ ，则 $S_{△ A D F} - S_{△ B E F} =$ .

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17. 对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．如果[a]=-2，那么a的取值范围是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 50 ° ， ∠ A C B = 100 °$ ， M是射线 $A B$ 上的一个动点，过点M作 $M N ∥ B C$ 交射线 $A C$ 于点N，连接 $B N$ ，若 $△ B M N$ 中有两个角相等，则 $∠ M N B$ 的度数可能是.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(3 a^{2})}^{2} - a^{2} \cdot 2 a^{2} + 4 a^{6} \div a^{2}$ ；

(2)、 $(a - 5) (2 a + 1)$ .

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20. 解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 2 ， \\ 3 x + 2 y = 17 . \end{array}$

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21. 先化简，再求值： ${(2 a + b)}^{2} - (b - 2 a) (2 a + b)$ ，其中 $a = - 2 ， b = 1$ .

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22. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (1 - x) > 2 (1 - 2 x) ， \\ \frac{1 + x}{2} \geq \frac{2 x}{3} ， \end{array}$ 并写出它的整数解.

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23. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $A B ∥ C D$ .
证明：∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
又∵ $∠ 1 =$       ▲      （   ），
∴ $∠ 2 = ∠ F M N$ （等量代换）.
∴ $C F ∥ E B$ （   ）.
∴ $∠ C = ∠ B E D$ （   ）.
又∵ $∠ B = ∠ C$ （已知），
∴ $∠ B =$       ▲      （等量代换）.
∴ $A B ∥ C D$ （   ）.

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是高， $A E$ 、 $B F$ 是角平分线，它们相交于点 $O$ ， $∠ C A B = 50 °$ ， $∠ C = 60 °$ .

(1)、求 $∠ D A E$ 的度数；

(2)、求 $∠ B O A$ 的度数.

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25. 问题提出
在学完乘法公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式 $- x^{2} + 2 x + 3$ 的最大值吗？

初步思考

同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：

解： $- x^{2} + 2 x + 3 = - (x^{2} - 2 x) + 3 = - (x^{2} - 2 x + 1 - 1) + 3 = - (x^{2} - 2 x + 1) + 1 + 3$

$= - (x^{2} - 2 x + 1) + 4 = - (x - 1)^{2} + 4$

因为 $(x - 1)^{2} \geq 0$ ，

所以 $- (x - 1)^{2} \leq 0$ .

所以当 $x = 1$ 时， $- (x - 1)^{2}$ 的值最大，最大值是0.

所以当 $- (x - 1)^{2} = 0$ 时， $- (x - 1)^{2} + 4$ 的值最大，最大值是4.

所以 $- x^{2} + 2 x + 3$ 的最大值是4.

(1)、尝试应用
求代数式 $- x^{2} + 14 x + 10$ 的最大值，并写出相应的x的值.

(2)、拓展提高
将一根长 $24 c m$ 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由.

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26. 截至12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次.为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元.

(1)、该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？

(2)、若投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，请问一共有几种投入方案，并求出每周生产疫苗的总成本最小值？

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27. 如图1，已知两条直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $E F$ 所截，分别交于点 $E$ ，点 $F$ ， $E M$ 平分 $∠ A E F$ 交 $C D$ 于点 $M$ ，且 $∠ F E M = ∠ F M E$ ．

(1)、判断直线 $A B$ 与直线 $C D$ 是否平行，并说明理由；

(2)、如图2，点 $G$ 是射线 $M D$ 上一动点（不与点 $M$ ， $F$ 重合）， $E H$ 平分 $∠ F E G$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，过点 $H$ 作 $H N ⊥ E M$ 于点 $N$ ，设 $∠ E H N = α$ ， $∠ E G F = β$ ．
①当点 $G$ 在点 $F$ 的右侧时，若 $β = 5 0^{∘}$ ，求 $α$ 的度数；
②当点 $G$ 在运动过程中， $α$ 和 $β$ 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

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