2012年高考理数真题试卷（辽宁卷）

试卷更新日期：2016-09-23 类型：高考真卷

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一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁_UA）∩（∁_UB）=（）

A、{5，8} B、{7，9} C、{0，1，3} D、{2，4，6}

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2. 复数 $\frac{2 - i}{2 + i}$ =（）

A、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $1 - \frac{4}{5} i$ D、 $1 + \frac{3}{5} i$

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3. 已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |，则下面结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ B、 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ C、| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ | D、 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$

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4. 已知命题p：∀x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）≥0，则￢p是（）

A、∃x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）≤0 B、∀x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）≤0 C、∃x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）＜0 D、∀x₁ ， x₂∈R，（f（x₂）﹣f（x₁））（x₂﹣x₁）＜0

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5. 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）

A、3×3! B、3×（3!）³ C、（3!）⁴ D、9!

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6. 在等差数列{a_n}中，已知a₄+a₈=16，则该数列前11项和S₁₁=（）

A、58 B、88 C、143 D、176

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7. 已知 $\sin α - \cos α = \sqrt{2}, α \in (0, π)$ ，则tanα=（）

A、﹣1 B、- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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8. 设变量x，y满足 ${\begin{matrix} x - y \leq 10 \\ 0 \leq x + y \leq 20 \\ 0 \leq y \leq 15 \end{matrix}$ ，则2x+3y的最大值为（）

A、20 B、35 C、45 D、55

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9.
执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）

A、﹣1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、4

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10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm²的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11. 设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³ ．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在 $[- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ 上的零点个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12. 若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）

A、e^x≤1+x+x² B、 $\frac{1}{\sqrt{1 + x}} \leq 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{2}$ C、 $\cos x \geq 1 - \frac{1}{2} x^{2}$ D、 $\ln (1 + x) \geq x - \frac{1}{8} x^{2}$

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二、填空题．

13.
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．

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14. 已知等比数列{a_n}为递增数列，且a₅²=a₁₀ ， 2（a_n+a_n+2）=5a_n+1 ，则数列{a_n}的通项公式a_n= ．

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15. 已知P，Q为抛物线x²=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为．

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16. 已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．

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三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．

(1)、求cosB的值；

(2)、边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

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18.
如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)、证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)、若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．

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19.
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

(1)、根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男

女

10
55
合计

(2)、将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）
P（ K²≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635

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20.
如图，已知椭圆C₀： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0 ， a ， b 为常数)$ ，动圆C₁： $x^{2} + y^{2} {=t}_{1}^{2} ， b ＜ t_{1} ＜ a$ ．点A₁ ， A₂分别为C₀的左右顶点，C₁与C₀相交于A，B，C，D四点．

(1)、求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；

(2)、设动圆C₂： $x^{2} + y^{2} {=t}_{2}^{2}$ 与C₀相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂ ．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明： $t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ 为定值．

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21. 设f（x）=ln（x+1）+ $\sqrt{x + 1}$ +ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y= $\frac{3}{2}$ x在（0，0）点相切．

(1)、求a，b的值；

(2)、证明：当0＜x＜2时，f（x）＜ $\frac{9 x}{x + 6}$ ．

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22.
选修4﹣1：几何证明选讲
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：

(1)、AC•BD=AD•AB；

(2)、AC=AE．

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23. 选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标xOy中，圆C₁：x²+y²=4，圆C₂：（x﹣2）²+y²=4．

(1)、在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C₁ ， C₂的极坐标方程，并求出圆C₁ ， C₂的交点坐标（用极坐标表示）；

(2)、求圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

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24. 选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．

(1)、求a的值；

(2)、若 $| f (x) - 2 f (\frac{x}{2}) | \leq k$ 恒成立，求k的取值范围．

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	非体育迷	体育迷	合计
男
女		10	55
合计

P（ K²≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635