天津市区重点学校2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，集合 $A = {4 ， 5 ， 7}$ ， $B = {4 ， 6}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2}$ C、 ${2 ， 5}$ D、 ${5 ， 7}$

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2. 设x， $y \in R$ ，则“ $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 \leq 0$ ”是“ $x + y \leq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = x^{2} l n | x | - 2$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A、直方图中x的值为0.004 B、在被抽取的学生中，成绩在区间 $[70 ， 80)$ 的学生数为30人 C、估计全校学生的平均成绩为84分 D、估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

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5. 设 $m \in (0 ， 1)$ ，若 $a = l g m$ ， $b = l g m^{2}$ ， $c = {(l g m)}^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 如图所示的曲线为函数 $f (x) = A \cos (ω x - φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象，将 $y = f (x)$ 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 $\frac{3}{2}$ ，再将所得曲线向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{5 π}{24} ， \frac{13 π}{24}]$ 上单调递减 B、点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 为 $g (x)$ 图象的一个对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{2}$ 为 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， π]$ 上单调递增

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8. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作 $A A^{'} ⊥ l$ ，垂足为A'，若四边形AA'PF的面积为14，且 $c o s ∠ F A A^{'} = \frac{3}{5}$ ，则抛物线C的方程为（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | 1 - x | ， 0 \leq x \leq 2 \\ 2 f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，当 $x \in [0 ， 8]$ 时，函数 $F (x) = f (x) - k x$ 恰有六个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{5} ， 1)$ B、 $(\frac{2}{3} ， \frac{4}{5})$ C、 $[\frac{2}{3} ， \frac{4}{5})$ D、 $[\frac{4}{5} ， 1)$

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二、填空题

10. 复数 $z = a + 2 i$ ， $a \in R$ ，若 $\frac{z}{i} + 1 - 3 i$ 为实数，则 $a =$ ．

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11. （a+x）⁴的展开式中x³的系数等于8，则实数a=
．

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - (6 - 2 m) x - 4 m y + 5 m^{2} - 6 m = 0$ ，直线 $l$ 经过点 $(- 1 ， 2)$ ，若对任意的实数 $m$ ，直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长都是定值，则直线 $l$ 的方程为.

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13. 已知 $a$ ， $b$ 为正实数，且 $(a + b) (a + 2 b) + a + b = 9$ ，则 $3 a + 4 b$ 的最小值为.

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14. 某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是；若用 $X$ 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 $E (X) =$ .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $D$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点， $P$ 为 $A D$ 与 $B F$ 的交点，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ .若 $\vec{B P} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，则 $x + y =$ ；若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{E D} =$ .

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s B = \frac{b + 2 c}{2 a}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $b = 2$ ， $c = 3$ .
（i）求 $a$ 的值；
（ii）求 $c o s (2 B - A)$ 的值.

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，过 $A_{1} C$ 作平面 $A_{1} C D$ 平行于 $B C_{1}$ ，交 $A B$ 于点 $D$ .

(1)、求证：点 $D$ 为 $A B$ 的中点；

(2)、若四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是边长为2的正方形，且 $A_{1} D = \sqrt{5}$ ，求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的锐二面角的余弦值.

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18. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + y + 3 = 0$ 的距离为 $a$ ，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、在（1）的条件下，抛物线 $D$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与点 $(- \frac{1}{8}, 2)$ 关于 $y$ 轴上某点对称，且抛物线 $D$ 与椭圆 $C$ 在第四象限交于点 $Q$ ，过点 $Q$ 作抛物线 $D$ 的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{1} = 1$ ， $\frac{S_{n + 1}}{S_{n}} = \frac{n + c}{n}$ （ $c$ 为常数， $c \neq 1$ ， $n \in N^{*}$ ），且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 是首项为1，公比为 $c$ 的等比数列，记 $A_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ⋯ + a_{n} b_{n}$ ， $B_{n} = a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} + ⋯ + (- 1)^{n - 1} a_{n} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．证明： $A_{2 n} + 3 B_{2 n} = \frac{4}{3} (1 - 4^{n})$ ．

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20. 已知 $f (x) = a l n x - x \cdot l n x ， f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 的切线方程；

(2)、讨论 $f^{'} (x)$ 在定义域内的极值；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 内单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

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