天津市南开区2022届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集为 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $∁_{U} A = {2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {2 ， 5 ， 6}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 4}$ B、 ${2 ， 5}$ C、{6} D、 ${1 ， 3 ， 4 ， 6}$

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2. 已知命题 $p ： x^{2} < 2 x + 3$ 和命题 $q ： | x - 1 | \leq 2$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取 $n$ 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在 $[9 ， 11)$ 的学生人数为25，则 $n$ 的值为（）

A、40 B、50 C、60 D、70

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4. 函数 $y = \frac{l n x^{2}}{x + 2}$ ， $x \in (- 2 ， 2)$ 的图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递增，记 $a = f (l o g_{\frac{1}{3}} 2)$ ， $b = f (2 . 3^{0.3})$ ， $c = f (l o g_{2} 10)$ ，则a，b，c的大小关系为（）．

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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6. 将函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的值可能为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、4

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 $(- 1 ， - 2)$ ，则双曲线的焦距为（）

A、 $6 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 已知三棱锥 $A - B C D$ 中，侧面ABC⊥底面BCD，△ABC是边长为6的正三角形，△BCD是直角三角形，且 $∠ B C D = \frac{π}{2} ， C D = 4$ ，则此三棱锥外接球的表面积为（）

A、36π B、48π C、64π D、128π

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9. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ ，函数 $g (x) = f (f (x)) - l o g_{a} (x + 1)$ ， $(a > 0 ， a \neq 1)$ 在[0，1]上有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2})$ B、（1，2） C、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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二、填空题

10. i是虚数单位，则 $\frac{1 + i}{3 + 4 i}$ 的虚部为．

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11. 若 $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^{n}$ 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为．

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12. 设直线 $a x - y + 3 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于A,B两点，且弦AB的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $a$ =.

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13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a + 3 b} + \frac{1}{2 a + b}$ 的最小值为．

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14. 为了抗击新冠肺炎疫情，现在从A医院200人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出两人作为联络员，则这两名联络员中B医院至少有一人的概率是.设两名联络员中B医院的人数为 $X$ ，则随机变量 $X$ 的数学期望为.

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15. 在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E和F分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上，且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = \frac{1}{9 λ} \vec{D C}$ ，当 $λ =$ 时，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 有最小值为．

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三、解答题

16. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， t a n B = 1 ， a = \sqrt{2} ， b = 3$ .

(1)、求 $s i n A$ ：

(2)、求 $c o s (2 A - B)$ ；

(3)、求 $c$ 的长.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $△ P A D$ 是等边三角形， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $E F G$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的大小；

(3)、线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面 $E F G$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.

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18. 已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆经过点 $M (2 ， 1)$ ，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之和为1．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、证明直线 $A B$ 经过定点，并求这个定点的坐标．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比 $q > 1$ 的等比数列，前三项和为13，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 2$ ， $a_{3}$ 恰好分别是等差数列 ${b_{n}}$ 的第一项，第三项，第五项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $k \in N^{*}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{b_{n} b_{n + 2}} ， & n = 2 k - 1 \\ a_{n} b_{n} ， & n = 2 k \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和 $S_{2 n}$ ；

(3)、设 $d_{n} = \frac{(8 n - 10) a_{n} - 1}{(2 a_{n} + 1) (2 a_{n + 2} + 1)}$ ，求数列 ${d_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a x - (a x + 1) l n x (a \in R)$ ，记 $f (x)$ 的导函数为 $g (x)$

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有三个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $f (x_{3}) < f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

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