天津市南开区2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A $∪$ B，则集合 $C_{u} (A ∩ B)$ 中的元素共有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 1$ ”是“ $\frac{1}{x} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 为了解某地区老年人体育运动情况，随机抽取了200名老年人进行调查．根据调查结果绘制了下面日均体育运动时间的频率分布直方图，则日均体育运动时间的众数和中位数分别是（）

A、35，35 B、40，35 C、30，30 D、35，30

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{| x + 3 | - 3}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = {(\frac{3}{2})}^{- 1}$ ， $c = l o g_{27} 4$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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6. 已知矩形 $A B C D$ 的顶点都在球心为 $O$ 的球面上， $A B = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，且四棱锥 $O - A B C D$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、64π B、52π C、48π D、 $\frac{448}{81} π$

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7. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，其图象的一个最低点是 $P (\frac{π}{6} ， - 2)$ ，距离 $P$ 点最近的对称中心为 $(\frac{π}{4} ， 0)$ ，则（）

A、 $ω = 3$ B、 $x = \frac{13 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $x \in (- \frac{π}{6} ， 0)$ 时，函数 $f (x)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $ϕ (ϕ > 0)$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 是奇函数，则 $ϕ$ 的最小值是 $\frac{π}{6}$

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8. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点到双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线的距离为 $b$ ，到双曲线左顶点的距离为 $\sqrt{3} b$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x | x - 1 | - 1 ， x \geq 0 ， \\ \frac{1}{x - 1} ， x < 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (1 - x) - a x + 1$ 恰有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ {0} ∪ (\frac{1}{4} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ {0} ∪ (\frac{1}{4} ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ [0 ， \frac{1}{4})$ D、 $(- 4 ， - 1) ∪ {0} ∪ [\frac{1}{4} ， 1)$

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二、填空题

10. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{1 + z}{2 i} = - \frac{1}{1 + i}$ ，则 $z =$ ．

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11. 在 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中， $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的系数是．

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12. 已知直线 $l$ ： $y = k (x + 1)$ 与圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $∠ A C B = 90 °$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{2 a + b}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2}} - \sqrt{a b}}$ 的最大值是．

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14. 甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以 $A$ 表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以 $B$ 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则 $P (B | A) =$ ；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为．

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15. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A D} = 8$ ，则 $| \vec{A C} | =$ ；若 $\vec{C E} = \vec{E D}$ ， $\vec{D F} = λ \vec{D B}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{F E}$ 的最大值为．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对边的边长分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $A + C = 2 B$ ．

(1)、若 $b = 5$ ， $c = 3$ ，求 $s i n C$ ；

(2)、若 $a + c = 2 b$ ，求证： $△ A B C$ 是等边三角形；

(3)、若 $c o s A = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $c o s 2 C$ 的值．

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D A = \frac{1}{2} D E = 1$ ．

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B C F$ ；

(2)、若 $B F = 1$ ，求 $E F$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $E F ⊥$ 平面 $A C F$ ，求平面 $A C E$ 与平面 $A C F$ 夹角的余弦值．

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，若 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点， $x$ 轴上方一点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} | = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $Q$ ，点 $M$ 与点 $Q$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $P M$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，若 $△ P Q N$ 的面积是 $△ Q M N$ 的面积的2倍，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为正项等比数列， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $\frac{S_{4}}{4} - \frac{S_{3}}{3} = 1$ ， $b_{1} (a_{2} - a_{1}) = 1$ ， $b_{2} + 2 b_{3} = b_{1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${{(- 1)}^{n - 1} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和的最大值；

(3)、设 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n + 1}^{2} b_{\frac{n + 1}{2}} ， n 为奇数， \\ - a_{n - 1}^{2} b_{\frac{n}{2}} ， n 为偶数， \end{array}$ 求证： $\sum_{k = 1}^{2 n} c_{k} < 24 (n \in N^{*})$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = [x^{2} + (a - 5) x - 4 a + 5] e^{x}$ （ $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.718 ⋯$ ）．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $y = f^{'} (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = \frac{a}{x} - \frac{f^{'} (x)}{x^{2} + a x} + b (b \in Z)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ ，且 $g (x_{2}) < 0$ ，求 $b$ 的最大值．

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