天津市九校联考2022届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {2 ， 4 ， 5}$ ， $B = {0 ， 2 ， 4}$ ，则 $A ∩ ∁_{U} B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${2 ， 5}$ C、 ${5}$ D、 ${0 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. 已知 $x \in R$ ，“ $x^{3} - 2 x > 0$ ”是“ $| x + 1 | > 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得下边的频率分布直方图，若低于60分的有9人，则该班参加竞赛的学生人数是（）

A、27 B、30 C、45 D、60

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{| x | - 1}{x} l n | x |$ ，其图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $3^{a} = 2$ ， $b = l n 2$ ， $c = 2^{0.3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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6. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 8 a x (a > 0)$ ，直线 $l$ 倾斜角是 $45 °$ 且过抛物线 $C_{1}$ 的焦点，直线 $l$ 被抛物线 $C_{1}$ 截得的线段长是 $16$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点在抛物线 $C_{1}$ 的准线上，则直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点 $P$ 到双曲线 $C_{2}$ 的一条渐近线的距离是

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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7. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示， $f (x)$ 图象与 $y$ 轴交于 $M$ 点，与 $x$ 轴交于 $C$ 点，点 $N$ 在 $f (x)$ 图象上，点 $M$ 、 $N$ 关于点 $C$ 对称，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6})$ 单调递减 D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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8. 以△ABC为底的两个正三棱锥 $P - A B C$ 和 $Q - A B C$ 内接于同一个球，并且正三棱锥 $P - A B C$ 的侧面与底面ABC所成的角为 $4 5^{∘}$ ，记正三棱锥 $P - A B C$ 和正三棱锥 $Q - A B C$ 的体积分别为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (- x) ， x < 0 \\ x e^{1 - x} ， x \geq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - a f (x) + a^{2} - a = 0$ 有四个不等实根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup [1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup {1}$ D、 $(- 1 ， 0) \cup {1}$

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二、填空题

10. 已知复数 $z = \frac{(1 + 3 i) (1 - i)}{(1 - 2 i)}$ ，则 $| \bar{z} | =$ .

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11. 若 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式的二项式系数和为32，则展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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12. 若直线l∶ $k x + y = 0$ 截圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 所得的弦长为2，则k的值为.

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13. 设 $a > 2 b > 0$ ，那么 $\frac{a^{4} + 1}{b (a - 2 b)}$ 的最小值是.

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14. 已知 $A$ 袋内有大小相同的1个红球和3个白球， $B$ 袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从 $A$ ､ $B$ 两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为；记取出的4个球中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望为.

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15. 如图，在菱形ABCD中 $A B = 2 ， ∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， E、F分别为BC、CD上的点. $\vec{C E} = 2 \vec{E B} ， \vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，点M在线段EF上，且满 $\vec{A M} = x \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A D} (x \in R)$ ，则 $x =$ ；若点N为线段BD上一动点，则 $\vec{A N} · \vec{M N}$ 的取值范围为.

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三、解答题

16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为 $3 \sqrt{15}$ ， b－c＝2，cos A＝－ $\frac{1}{4}$ .

(1)、求a和sin C的值；

(2)、求cos $(2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平而ABCD， $A C ⊥ A D ， A B ⊥ B C ， ∠ B C A =$ $6 0^{∘} ， A P = A D = A C = 2 ，$ E为CD的中点，M在AB上，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$

(1)、求证：EM∥平面PAD；

(2)、求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

(3)、点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°，求AF的长.

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18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴是短轴的 $\sqrt{2}$ 倍，点(2，1)在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l与圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P ， Q两点.
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；

②若△OPQ的面积为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5} ，$ 求直线l的方程.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} a_{n} + n n 为奇数 \\ a_{n} - 3 n n 为偶数 \end{array}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{2 n} - \frac{3}{2}}$ 是等比数列.

(2)、记 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和：
①求 $S_{2 n}$ ；

②求满足 $S_{n} > 0$ 的所有正整数 $n$ .

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20. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) l n x ， a \in R$

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a \geq 1$ ，且 $f (x) > 1$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a > \frac{1}{e}$ ，判断函数 $g (x) = x [f (x) + a + 1]$ 的零点的个数.

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