天津市环城七校联考2022届高三下学期数学第二次质量调查试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $U = {x | x \geq - 1}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {x | x > 5}$ ，则 $A ∩ ∁_{U} B =$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 5}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7}$

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2. 已知 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 3$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{| x |}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成5组： $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100)$ ，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查，则成绩在区间 $[70 ， 80)$ 内应抽取的人数为（）

A、10 B、20 C、30 D、35

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5. 设 $a = l o g_{2} 3 ， b = l o g_{4} 5 ， c = 2^{- 0.1}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积为24，若圆锥的底面圆周经过 $A ， A_{1} ， C_{1} ， C$ 四个顶点，圆锥的顶点在棱 $B B_{1}$ 上，则该圆锥的体积为（）

A、 $3 \sqrt{2} π$ B、 $\frac{\sqrt{2} π}{3}$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$

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7. 若 $b > 0$ 且 $b \neq 1 ， l o g_{2} b = a ， l o g_{3} b = c ， a = - c d$ ，则 $2^{d} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $l o g_{2} 3$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合，过 $F$ 作与一条渐近线平行的直线 $l$ ，交另一条渐近线于点 $A$ ，交抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线于点 $B$ ，若三角形 $A O B$ （ $O$ 为原点）的面积 $3 \sqrt{3}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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9. 设 $ω \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) ， x \geq 0 ， \\ \frac{3}{2} x^{2} + 4 ω x + \frac{1}{2} ， x < 0 ， \end{array} g (x) = ω x$ ．若 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{3} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，且函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有三个交点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{2}{3}]$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2}{3}]$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $[- \frac{4}{3} ， 0) ∪ [\frac{1}{4} ， \frac{2}{3}]$

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二、填空题

10. i为虚数单位，若 $\frac{a - 2 i}{1 - 2 i}$ 为纯虚数，则实数a的值为．

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11. 二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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12. 圆心在直线 $x - 2 y = 0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴相切，圆 $C$ 截 $x$ 轴所得弦的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆 $C$ 的标准方程为．

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13. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则 $a + \frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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14. 甲、乙两人每次投篮命中的概率分别 $\frac{1}{2} ， \frac{2}{3}$ ，甲、乙两人投中与否互不影响．现若两人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为；若每人投篮两次，两人共投中三次的概率为．

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15. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， A D = 1 ， A B = 3 ， C D = 1 ， \vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} ， C M$ 与 $B D$ 相交于点Q．若 $\vec{M P} = \frac{1}{3} \vec{M C}$ ，则 $\vec{A Q} \cdot \vec{D P} =$ ；若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = \frac{3}{2}$ ， N为线段 $A C$ 延长线上的动点，则 $\vec{N Q} \cdot \vec{N B}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $s i n A = 3 s i n B ， a = 6 b c o s C ， c = \sqrt{7}$ ．

(1)、求角C的度数；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 B - \frac{π}{3})$ 的值．

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17. 如图， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B / / C D$ ， $P Q / / C D$ ， $A D = C D = D P = 2 P Q = 2 A B = 2$ ，点 $E$ ， $F$ ， $M$ 分别为 $A P$ ， $C D$ ， $B Q$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $C P M$ ；

(2)、求平面 $Q P M$ 与平面 $C P M$ 夹角的大小；

(3)、若 $N$ 为线段 $C Q$ 上的点，且直线 $D N$ 与平面 $Q P M$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求线段 $Q N$ 的长．

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，上顶点为B，M为 $B F$ 的中点，且 $| O M | = \frac{\sqrt{2}}{2} | O B |$ ．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、直线 $l ∥ B F$ ， l与椭圆有唯一公共点N，与y轴的正半轴相交．若点P满足 $\vec{O P} = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{O F}$ ，且四边形 $B P F N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的方程．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 1 ， b_{1} = 2 ， a_{4} b_{3} = 2 b_{4} ， b_{2} = a_{1} + a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} \leq a_{n} \cdot b_{n} (n \in N^{*})$ ；

(3)、记 $c_{n} = (- 1)^{n} \frac{a_{3 n + 1} \cdot b_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和．

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20. 已知函数 $f (x) = x l n x + a ， (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < a < \frac{1}{e}$ 时，证明：函数 $f (x)$ 有两个零点；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - a x^{2} - x$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2}$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ），证明： $x_{1} \cdot {x_{2}}^{2} > e^{3}$ ．

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