天津市红桥区2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x = 0}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $2 - x \geq 0$ ”是“ $- 1 \leq x - 1 \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $a = l o g_{2} 0.3$ ， $b = l o g_{\frac{1}{2}} \frac{2}{5}$ ， $c = 0 . 4^{0.3}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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4. 过点 $(2 ， 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当弦 $| A B |$ 取最大值时，直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x - 4 y + 6 = 0$ B、 $3 x - 4 y - 6 = 0$ C、 $4 x - 3 y + 8 = 0$ D、 $4 x + 3 y - 8 = 0$

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5. 曲线 $y = x e^{x - 1}$ 在点（1，1）处切线的斜率等于（）.

A、 $2 e$ B、 $e$ C、2 D、1

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6. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位： $c m$ ），所得数据均在区间 $[80 ， 130]$ 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于 $100 c m$ 的棵数是（）

A、18 B、24 C、36 D、48

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7. 如果双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点 $P$ 到双曲线右焦点的距离是2，那么点 $P$ 到 $y$ 轴的距离是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $a + 2 b = 5$ ，则 $\frac{(a + 1) (2 b + 1)}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 2$ ，设点 $P$ ， $Q$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = (1 - λ) \vec{A C}$ ， $λ \in R$ ，若 $\vec{B Q} \cdot \vec{C P} = - \frac{3}{2}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{- 3 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

10. 若 $i$ 是虚数单位，则复数 ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2} =$ .

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11. 若二项式 $(2 x + \frac{a}{x})^{7}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数是84，则实数 $a =$ ．

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12. 两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为.

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13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．

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14. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ .

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x ， x \leq a \\ - 2 x ， x > a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a > b$ ， $a = 5$ ， $c = 6$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $s i n A$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A + \frac{π}{4})$ 的值.

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A C$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $A B = B C = \sqrt{5}$ ， $A C = A A_{1} = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B E F$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $D - B C - A$ 的余弦值.

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $A (a ， 0)$ 、 $B (0 ， b)$ 之间的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若经过点 $(0 ， \sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ ，则是否存在常数 $k$ ，使得 $\vec{O P} + \vec{O Q}$ 与 $\vec{A B}$ 共线？如果存在，求 $k$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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19. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ．已知 $b_{1} = 1$ ， $b_{3} = b_{2} + 2$ ， $b_{4} = a_{3} + a_{5}$ ， $b_{5} = a_{4} + 2 a_{6}$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${{(- 1)}^{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .记 $c_{n} = \frac{3 + T_{2 n - 1}}{2} b_{2 n - 1} + \frac{3 + T_{2 n}}{2} b_{2 n}$ ，求 $c_{n}$ ；
（Ⅲ）求 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}}{c_{n + 1 - i}}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - k x ， x \in R$
（Ⅰ）若 $k = e$ ，试确定函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若 $k > 0$ ，且对于任意 $x \in R$ ， $f (| x |) > 0$ 恒成立，试确定实数 $k$ 的取值范围；
（Ⅲ）设函数 $F (x) = f (x) + f (- x)$ ，求证： $F (1) F (2) ⋯ F (n) > (e^{n + 1} + 2)^{\frac{n}{2}} (n \in N^{*})$ ．

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