天津市河东区2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ， $C = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $(A ∩ B) ∪ C =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 4}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知命题 $p ： 0 < x < 1$ ，命题 $q ： x^{2} - x - 6 < 0$ ，则命题p是命题q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = x sin x$ 在 $[- π ， π]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是（）

A、30 B、60 C、70 D、80

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5. 设 $a = l o g_{3} π$ ， $b = l o g_{\sqrt{3}} 2$ ， $c = 4^{l n \frac{1}{2}}$ ，则a，b，c大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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6. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为 $6 m$ ，顶角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）

A、 $6 π m^{3}$ B、 $3 \sqrt{3} π m^{3}$ C、 $9 \sqrt{3} π m^{3}$ D、 $12 π m^{3}$

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7. 已知离心率为 $\frac{5}{3}$ 的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，若点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的准线与 $C$ 的渐近线的一个交点，且满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则双曲线的方程是

A、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且它的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称，则下列说法正确的个数为（）
①将 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位长度后，得到函数 $y = 2 s i n ω x$ 的图象； ② $f (x)$ 的图象经过点 $(0 ， 1)$ ；③ $f (x)$ 的图象的一个对称中心是 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；④ $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上是减函数；

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知函数 $f (x) = | l n x |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， 0 < x \leq 1 ， \\ | x^{2} - 4 | - 2 ， x > 1 ， \end{array}$ 若方程 $| f (x) + g (x) | = a$ 有4个实根，则 $a$ 的取值范围是

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 2 - l n 2)$ C、 $[1 ， 2 - l n 2]$ D、 $[1 ， 2 - l n 2)$

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二、填空题

10. i是虚数单位，则复数 $\frac{3 - i}{1 + 2 i} =$ .

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11. 在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是．（用数字作答）

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12. 圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$ 的公共弦长为．

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13. 设正实数 $a ， b$ 满足 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为．

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14. 甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为；记三人命中总次数为 $X$ ，则 $E (X) =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，点M，N是线段 $B C$ 上的两点， $| \vec{M A} | = | \vec{M B} | = | \vec{M C} | = 1$ ， $M A \cdot \vec{M N} = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{N A} =$ ， $| \vec{N A} |$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $c = 3 \sqrt{2}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $6$ ．

(1)、求 $a$ 及 $s i n A$ 的值；

(2)、求 $s i n (2 A - \frac{π}{6})$ 的值．

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17. 如图所示，直角梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， AD垂直AB， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形EDCF为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $D F$ ∥平面ABE；

(2)、求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；

(3)、在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} > 0$ 且 $a_{1} a_{3} = 36$ ， $a_{3} + a_{4} = 9 (a_{1} + a_{2})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n} + 1 = 3^{b_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 及数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前2n项和 $P_{2 n}$ ．

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19. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $a + b = 3$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： $2 m - n$ 为定值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{a} - 2 l n x$ （ $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ）．

(1)、 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程．

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} 、 x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，且 $a = e^{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 e$ ．

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