天津市和平区2022届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $M = {1 ， 2} ， N = {3 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (M ∪ N) =$ （）

A、{5} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 设{a_n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a_n}为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{x l n | x |}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组： $[0 ， 1)$ ， $[1 ， 2)$ ， $[2 ， 3)$ ， $[3 ， 4)$ ， $[4 ， 5)$ ， $[5 ， 6]$ ，（时间均在 $[0 ， 6]$ 内），如图，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5，则 $m$ ， $n$ 的值分别为（）

A、0.3，0.35 B、0.4，0.25 C、0.35，0.3 D、0.35，0.25

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5. 设 $a = l o g_{3} 2 ， b = l o g_{5} 3 ， c = \frac{2}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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6. 已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（）

A、3：4 B、1：2 C、 $3 \sqrt{2} ： 8$ D、2：1

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 有一个公共的焦点 $F$ ，且两曲线的一个交点为 $P$ .若 $| P F | = \frac{5}{2}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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8. 函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{2 π}{3}) - s i n (2 x - \frac{3 π}{2})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{| x |}$ ，关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + (m + 1) f (x) + m + 4 = 0 (m \in$ R)有四个相异的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， - e - \frac{4}{e + 1})$ B、 $(- 4 ， - 3)$ C、 $(- e - \frac{4}{e + 1} ， - 3)$ D、 $(- e - \frac{4}{e + 1} ， + ∞)$

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二、填空题

10. 已知 $i$ 为虚数单位，设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为．

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11. $(1 - \frac{1}{x}) (1 + x)^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为．

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12. 已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0 ， m)$ ，若直线 $2 x - y + 3 = 0$ 与圆 $C$ 相切于点 $A (- 2 ， - 1)$ ，则圆C的标准方程为.

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13. 设 $a ， b > 0 ， a + b = 5$ ，则 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 3}$ 的最大值为．

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14. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件 $A$ 为“高二年级3人相邻”，事件 $A$ 的排法为种；在事件 $A$ “高二年级3人相邻”的前提下，事件 $B$ “高一年级2人不相邻”的概率 $P (B | A)$ 为．

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15. 在平面内，定点 $A ， B ， C ， O$ ，满足 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 2$ ，且 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $| \vec{A B} | =$ ；平面内的动点 $P ， M$ 满足 $| \vec{A P} | = 1$ ， $\vec{P M} = \vec{M C}$ ，则 $| \vec{B M} |^{2}$ 的最大值是．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $C = \frac{π}{4}$ .

(1)、求AB的长；

(2)、求 $c o s A$ ；

(3)、求 $c o s (2 A - \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，且 $A B = 2 ， D D_{1} = 4$ ，点 $E ， F$ 分别是 $D_{1} B ， A D$ 的中点．

(1)、求直线 $C E$ 与直线 $D_{1} D$ 所成角的正切值；

(2)、求平面 $D_{1} B F$ 与平面 $B C D_{1}$ 的夹角的余弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $D_{1} B F$ 的距离．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆过点 $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，线段 $M N$ 的垂直平分线交直线 $l$ 于点 $P$ ，交直线 $x = - 2$ 于点 $Q$ ，求 $\frac{| P Q |}{| M N |}$ 的最小值．

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1 ， a_{1} + a_{2} + a_{3} = 14 ， a_{2} + 1$ 是 $a_{1} ， a_{3}$ 的等差中项．等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $4 b_{1} = a_{2} ， b_{8} = a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、将数列 ${a_{n}}$ 与数列 ${b_{n}}$ 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；

(3)、 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{b_{n}}{a_{n}} ， n 为奇数 \\ \frac{b_{n}^{2} - 4 {(b_{n} - 2)}^{2}}{a_{n}} ， n 为偶数 \end{array} (n \in N *)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $\sum_{i = 1}^{2 n} c_{i}$ ．

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20. 设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)= $\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x - 1}}$ ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

(1)、讨论f(x) 的单调性；

(2)、证明：当x＞1时，g(x)＞0；

(3)、如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.

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