天津市部分区2022届高三下学期数学高考前质检试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 3 \leq x < 7}$ ， $B = {x ∣ 4 \leq x < 10}$ ，则 $C_{R} (A ∩ B)$ =（）

A、 ${x | x < 4$ 或 $x \geq 7}$ B、 ${x | x \leq 4$ 或 $x \geq 7}$ C、 ${x | 4 < x < 7}$ D、 ${x | x < 4$ 或 $x > 7}$

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2. 下列函数中，既是偶函数又在 $(- \infty$ ， $0)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = l n \frac{1}{| x |}$ D、 $y = x c o s x$

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3. 命题 $p ： \forall x > 0 ， \frac{x}{x^{2} + 1} > 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 0 ， \frac{x}{x^{2} + 1} ⩽ 0$ B、 $\forall x > 0 ， \frac{x}{x^{2} + 1} < 0$ C、 $\exists x > 0 ， \frac{x}{x^{2} + 1} < 0$ D、 $\exists x > 0 ， \frac{x}{x^{2} + 1} ⩽ 0$

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4. 正项等比数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{5} = 1$ ，则“公比 $q = 1$ ”是“ $a_{3} + a_{7}$ 的最小值为2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①估计样本的中位数为4800元；②如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税；③根据此次调查，为使60……以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调^5200元 $.$ 其中正确结论的个数有（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(a > 0)$ 的实轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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7. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为2， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，过该棱锥高的中点且平行于底面 $A B C D$ 的平面截该正四棱锥所得截面为A₁B₁C₁D₁ ，若底面 $A B C D$ 与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、20π B、 $\frac{20 π}{3}$ C、4π D、 $\frac{4 π}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x | ， g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， 0 < x \leq 1 \\ | x - 2 | - 0.5 ， x > 1 \end{array}$ ，则方程 $| f (x) - g (x) | = 1$ 的实根个数为（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的图象如图所示，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 等于（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

10. 复数 $\frac{2}{i}$ 的虚部是.

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11. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的圆心到直线 $x - a y + 1 = 0$ 的距离为 $2$ ，则 $a =$ ．

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12. 随机变量 $ξ ~ B (n ， p)$ ，若 $E (ξ) = 30$ ， $D (ξ) = 20$ ，则 $n =$ .

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13. 计算： $2 l g 2 + l g \frac{5}{2} =$ ．

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14. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为4， $E$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E D} =$ ．

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15. 在（x²+ $\frac{1}{2 x}$ ）⁸的展开式中，x⁷的系数为．（用数字作答）

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三、解答题

16. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a s i n B = \sqrt{3} b .$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ ．

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17. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $A$ 为椭圆的上顶点，直线 $A F_{2}$ 交椭圆于另一点 $B$ .

(1)、若 $∠ F_{1} A B = 9 0^{∘}$ ，求椭圆的离心率；

(2)、若椭圆的焦距为2，且 $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ ，求椭圆的方程.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D ⊥ C D$ ， $E$ 为 $P C$ 中点，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = A D = P D = 1$ ， $C D = 2$ ．

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、设 $Q$ 为棱 $P C$ 上一点， $\vec{P Q} = λ \vec{P C}$ ，试确定 $λ$ 的值使得二面角 $Q - B D - P$ 为 $45 °$ ．

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的正整数 $n$ ，都有 $2 S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1$ 成立，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 5$ ， $a_{3}$ 成等差数列．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 2^{n}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、证明：对一切正整数 $n$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < \frac{4}{3}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + l n (x + 1)}{x} (x > 0)$ .

(1)、试判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调性并证明你的结论；

(2)、若 $f (x) > \frac{k}{x + 1}$ 对于 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值；

(3)、求证： $(1 + 1 \times 2) (1 + 2 \times 3) (1 + 3 \times 4) ⋯ [1 + n (n + 1)] > e^{2 n - 3}$ ．

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