天津市滨海七校2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 定义 $A - B = {x | x \in A 且 x \notin B}$ ，若 $A = {0 ， 1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {1 ， 5 ， 9}$ ，则A-B=（）

A、{9} B、{0，3，7} C、{1，5} D、{0，1，3，5，7}

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2. “ $k = 2$ 且 $b = - 1$ ”是“直线 $y = k x + b$ 过点 $(1, 1)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{| x + 1 |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a = 2^{- \log_{2} 3} ， b = a^{- \frac{1}{3}} ， c = \ln a ，$ 则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系为（）

A、c<a<b B、c<b<a C、a<c<b D、b<c<a

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6. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的底面是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形， $S A = S B = S C = A B = 2$ ，设 $S ， A ， B ， C$ 四点均在以 $O$ 为球心的某个球面上，则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 唐代诗人李欣的是 $《$ 古从军行 $》$ 开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ，若将军从 $A (2 ， 0)$ 出发，河岸线所在直线方程 $x + y - 4 = 0$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的图象关于 $y$ 轴对称，那么函数 $y = f (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + (4 a - 3) x + 3 a, x < 0, \\ \log_{a} (x + 1) + 1, x \geq 0 \end{array}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）在 $R$ 上单调递减，且关于x的方程 $| f (x) | = 2 - x$ 恰有两个不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、[ $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ] C、[ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ] $\cup$ { $\frac{3}{4}$ } D、[ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ） $\cup$ { $\frac{3}{4}$ }

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二、填空题

10. 如果复数z满足 $| z + 1 - i | = 2$ ，那么 $| z - 2 + i |$ 的最大值是．

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11. 若 ${(x + \frac{a}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中x⁴的系数为7，则实数a= ．

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12. 已知圆C：x²＋y²＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝ .

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13. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是.

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14. 已知ab＝ $\frac{1}{2}$ ， a，b∈（0，1），则 $\frac{1}{1 - a} + \frac{4}{1 - b}$ 的最小值为，

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15. 如图直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ，在等腰直角三角形 $C D E$ 中， $∠ C = 90 °$ ，则向量 $\vec{A E}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量的模为；若 $M$ ， $N$ 分别为线段 $B C$ ， $C E$ 上的动点，且 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = \frac{5}{2}$ ，则 $\vec{M D} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $B = \frac{2 π}{3}$ ，且 $(s i n A + s i n B) s i n C + c o s 2 C = 1$

(1)、求证： $5 a = 3 c$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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17. 如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．

(1)、求证：BF∥平面ADE；

(2)、求直线BE与直线DF所成角的余弦值；

(3)、求点D到直线BF的距离．

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18. 如图，椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 e ，点 $(1 ， e)$ 在 $Γ$ 上.A，B是 $Γ$ 的上､下顶点，直线l与 $Γ$ 交于不同两点C，D（两点的横坐标都不为零，l 不平行于 x轴）.点E与C关于原点O对称，直线AE与BD交于点F，直线FO与 l 交于点M.

(1)、求 b 的值；

(2)、求点 M 到 x 轴的距离.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n}$ ，令 $b_{n} = a_{2 n}$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {\begin{array}{l} \sqrt{b_{n}} ， n 为偶数， \\ \frac{2}{\sqrt{l o g_{2} b_{n}} + \sqrt{l o g_{2} b_{n + 2}}} ， n 为奇数， \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前23项和．

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20. 已知函数 $f (x) = - 2 a^{2} l n x + \frac{1}{2} x^{2} + a x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 上的最小值．

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