北京延庆区2022届高三下学期数学质量监测试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $B = {x | l o g_{2} x \geq 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、{2} C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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2. 在复平面内，复数 $z = - 2 - 3 i$ ，则 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、-60 B、-15 C、15 D、60

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4. 设 $α ， β$ 是两个不同的平面， $m$ 是直线且 $m ⊥ β$ ，则“ $m \subset α$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ B、 $s i n a - s i n b > 0$ C、 $| a | - | b | < 0$ D、 $l n (- a) + l n (- b) > 0$

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 是抛物线上一点. 若 $| P F | = 4$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(4 ， 4)$ B、 $(3 ， 2 \sqrt{3})$ C、 $(4 ， \pm 4)$ D、 $(3 ， \pm 2 \sqrt{3})$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ D、 $y = \pm \sqrt{5} x$

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8. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 截直线 $k x - y - k + 1 = 0$ 所得弦的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、2 B、1 C、0 D、不存在

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9. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + c o s x$ ，且 $x \in [0 ， 2 π]$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\sqrt{| x |} + \sqrt{| y |} = 1$ ，直线 $l$ 的方程为 $y = - x + a$ ．当直线 $l$ 与曲线 $C$ 有两个交点时，实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}) ∪ {- 1 ， 1}$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x + 1} + l g (2 - x)$ 的定义域是．

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n a x \cdot c o s a x (a > 0)$ 的两个相邻零点之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，则 $a =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ 在区间 $[a ， + \infty)$ 上存在最小值 $3$ ，则实数 $a =$ ．

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14. 已知向量序列： ${\vec{a}}_{1} ， {\vec{a}}_{2} ， {\vec{a}}_{3} ， ⋯ ， {\vec{a}}_{n} ， ⋯$ 和向量 $\vec{d}$ 满足： $| {\vec{a}}_{1} | = 2$ ， $| \vec{d} | = 1$ ， ${\vec{a}}_{1} \cdot \vec{d} = - 1$ ．定义 ${\vec{a}}_{n} - {\vec{a}}_{n - 1} = \vec{d}$ （ $n = 2 ， 3 ， 4 ， ⋯$ ），则 $| {\vec{a}}_{n} |$ 最小值为．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q (q \neq 1)$ 的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和. 已知 $a_{1} \cdot a_{3} = 16$ ， $\frac{S_{3}}{q} = 12$ ，给出下列四个结论：
① $q < 0$ ；
②若存在 $m$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{m}$ 的乘积最大，则 $m$ 的一个可能值是 $3$ ；
③若存在 $m$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{m}$ 的乘积最大，则 $m$ 的一个可能值是 $4$ ；
④若存在 $m$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{m}$ 的乘积最小，则 $m$ 的值只能是 $2$ ．
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，棱 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $A D_{1} E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证：平面 $A C E ⊥$ 平面 $D_{1} D B B_{1}$ ；

(2)、求证： $B C_{1} / / E F$ ；

(3)、求二面角 $D_{1} - A E - B$ 的余弦值．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $c = 2 a c o s A$ ， $∠ C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c = \sqrt{2} b$ ；
条件②： $B C$ 边上的中线 $A D = \sqrt{7}$ ；
条件③： $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．

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18. 2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献.2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：
排名
省份
2020-2021
2019-2020
2018-2019
1
河北
221
136
235
2
吉林
202
123
207
3
北京
188
112
186
4
黑龙江
149
101
195
5
新疆
133
76
116
6
四川
99
52
69
7
河南
98
58
95
8
浙江
94
62
108
9
陕西
79
47
76
10
山西
78
39
100

(1)、从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；

(2)、从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、记表格中2020-2021，2019-2020两组数据的方差分别为 ${s_{1}}^{2}$ 与 ${s_{2}}^{2}$ ，试判断 ${s_{1}}^{2}$ 和 ${s_{2}}^{2}$ 的大小． $($ 结论不要求证明 $)$

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19. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{x}$ . $(a \in R)$

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的极值和单调区间；

(3)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上不是单调函数，且 $f (x) \leq e$ 在 $[1 ， e]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其中左顶点为 $A$ ，右顶点为 $B$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、直线 $y = x + t (t \neq 0)$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $P$ ， $Q$ ，直线 $A P$ ， $B Q$ 分别与直线 $y = x$ 交于点 $M$ ， $N$ . 求证： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值.

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21. 已知 ${a_{n}}$ 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，最小值记为 $B_{n}$ ，令 $b_{n} = \frac{A_{n}}{B_{n}}$ $(n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，并将数列 ${b_{n}}$ 称为 ${a_{n}}$ 的“生成数列”．

(1)、若 $a_{n} = 2^{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的“生成数列”为 ${c_{n}}$ ，求证： $b_{1} (c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n}) = b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n}$ ；

(3)、若 ${b_{n}}$ 是等比数列，证明：存在正整数 $n_{0}$ ，当 $n \geq n_{0}$ 时， $a_{n} ， a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， ⋯$ 是等比数列．

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排名	省份	2020-2021	2019-2020	2018-2019
1	河北	221	136	235
2	吉林	202	123	207
3	北京	188	112	186
4	黑龙江	149	101	195
5	新疆	133	76	116
6	四川	99	52	69
7	河南	98	58	95
8	浙江	94	62	108
9	陕西	79	47	76
10	山西	78	39	100