北京市西城区2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 4 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 9}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 4 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 2)$ C、 $(- 4 ， 2)$ D、 $[- 3 ， 3]$

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2. 已知双曲线的焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，双曲线上一点 $P$ 满足 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，首项 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 3$ ，若 $a_{n} + a_{n + 2} = 28$ ，则 $n =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 下列函数中，与函数 $y = x^{3}$ 的奇偶性相同，且在 $(0 ， + \infty)$ 上有相同单调性的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 $y = l n x$ C、 $y = s i n x$ D、 $y = x | x |$

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5. 已知直线 $y = k x + 2$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 已知 $\vec{e}$ 是单位向量，向量 $\vec{a}$ 满足 $\frac{1}{2} \leq \vec{a} \cdot \vec{e} \leq 1$ ，则 $| \vec{a} |$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1]$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ)$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ，那么“ $| φ | = \frac{π}{6}$ ”是“ $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上是增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $f (x) = | l g x - a |$ ，记关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 的所有实数根的乘积为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ （）

A、有最大值，无最小值 B、有最小值，无最大值 C、既有最大值，也有最小值 D、既无最大值，也无最小值

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9. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 3 ， x \leq 0 \\ {(x - 2)}^{2} ， 0 < x \leq a \end{array}$ 的定义域和值域的交集为空集，则正数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(2 ， 4)$

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10. 如图为某商铺 $A$ 、 $B$ 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知 $A$ 商品卖出一件盈利20元， $B$ 商品卖出一件盈利10元.图中点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 的纵坐标分别表示 $A$ 商品2022年前3个月的销售量，点 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 的纵坐标分别表示 $B$ 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（）
①2月 $A$ 、 $B$ 两种商品的总销售量最多；②3月 $A$ 、 $B$ 两种商品的总销售量最多；③1月 $A$ 、 $B$ 两种商品的总利润最多；④2月 $A$ 、 $B$ 两种商品的总利润最多.

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题

11. 二项式 ${(1 + x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为21，则 $n =$ .

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12. 已知复数 $z$ 在复平面内所对应的点的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，则 $| \frac{5}{z} |$ 为.

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为16，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， ${b_{n}}$ 是公差为2的等差数列.若集合 $A = {n \in N^{*} | a_{n} > b_{n}}$ 中恰有3个元素，则符合题意的 $b_{1}$ 的一个取值为.

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14. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的高为1， $△ P A B$ 和 $△ P C D$ 均是边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥 $P - A B C D$ 可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 距离都相等的点；
③可能有平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
④四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的取值范围是 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3}]$ .
其中所有正确结论的序号是.

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则焦点到准线的距离为；直线 $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ 与抛物线分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在 $x$ 轴上方），过点 $P$ 作直线 $P Q$ 的垂线交准线 $l$ 于点 $H$ ，则 $\frac{| P F |}{| P H |} =$ .

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{B}{2} + 2 s i n \frac{B}{2} c o s \frac{B}{2} = \sqrt{3}$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $\sqrt{3} (a + c) = 2 b$ ，证明： $a = c$ .

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17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为 $10 %$ 和 $5 %$ ，选考1分钟跳绳的比例分别为 $40 %$ 和 $50 %$ .假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.

(1)、从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；

(2)、从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；

(3)、已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为 $μ_{1}$ ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为 $μ_{2}$ ，试比较 $μ_{1}$ 与 $μ_{2}$ 的大小.（结论不需要证明）

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的菱形， $A B = B C = \sqrt{13}$ ，点 $D$ 为棱 $A C$ 上动点（不与 $A$ ， $C$ 重合），平面 $B_{1} B D$ 与棱 $A_{1} C_{1}$ 交于点 $E$ .

(1)、求证： $B B_{1} / / D E$ ；

(2)、若 $\frac{A D}{A C} = \frac{3}{4}$ ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线 $A B$ 与平面 $B_{1} B D E$ 所成角的正弦值.条件①：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；条件②： $∠ A_{1} A C = 60 °$ ；条件③： $A_{1} B = \sqrt{21}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x + a}{x + 1}$ .

(1)、若 $f^{'} (1) = \frac{1}{4}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 2$ 时，
①求证： $f (x)$ 有唯一的极值点 $x_{1}$ ；
②记 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，是否存在 $a$ 使得 $\frac{x_{1}}{x_{0}} \leq e^{2}$ ？说明理由.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2 ， 0)$ ，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 经过椭圆 $C$ 的上、下顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和焦距；

(2)、已知 $P$ ， $Q$ 分别是椭圆 $C$ 和圆 $O$ 上的动点（ $P$ ， $Q$ 不在坐标轴上），且直线 $P Q$ 与 $x$ 轴平行，线段 $A P$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于点 $M$ ，圆 $O$ 在点 $Q$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $N$ .求线段 $M N$ 长度的最小值.

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21. 已知数列 $A$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2 m}$ ，其中 $m$ 是给定的正整数，且 $m \geq 2$ .令 $b_{i} = m i n {a_{2 i - 1} ， a_{2 i}}$ ， $i = 1 ， \cdot \cdot \cdot ， m$ ， $X (A) = m a x {b_{1} ， b_{2} ， ⋯ ， b_{m}}$ ， $c_{i} = m a x {a_{2 i - 1} ， a_{2 i}}$ ， $i = 1 ， \cdot \cdot \cdot ， m$ ， $Y (A) = m i n {c_{1} ， c_{2} ， ⋯ ， c_{m}}$ .这里， $m a x {}$ 表示括号中各数的最大值， $m i n {}$ 表示括号中各数的最小值.

(1)、若数列 $A$ ：2，0，2，1，-4，2，求 $X (A)$ ， $Y (A)$ 的值；

(2)、若数列 $A$ 是首项为1，公比为 $q$ 的等比数列，且 $X (A) = Y (A)$ ，求 $q$ 的值；

(3)、若数列 $A$ 是公差 $d = 1$ 的等差数列，数列 $B$ 是数列 $A$ 中所有项的一个排列，求 $X (B) - Y (B)$ 的所有可能值（用 $m$ 表示）.

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