北京市通州区2022届高三数学高考一模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x < 2}$ ， $B = {x | 1 \leq x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2)$ B、 $[- 2 ， 3)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2]$

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2. 复数 $\frac{2}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $1 + i$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{5} = 20$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、60 B、70 C、120 D、140

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4. 在△ABC中，已知 $c o s A = \frac{1}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ，则 $c =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 若a， $b \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} \leq 4$ ”是“ $a b \leq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按 $[0 ， 10]$ ， $(10 ， 20]$ ， $(20 ， 30]$ ， $(30 ， 40]$ ， $(40 ， 50]$ 分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，方差分别是 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} > x_{2}$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $x_{1} > x_{2}$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ C、 $x_{1} < x_{2}$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ D、 $x_{1} < x_{2}$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$

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7. 设 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一点， $F$ 是抛物线的焦点， $O$ 是坐标原点，若 $∠ O F M = 12 0^{∘}$ ，则 $| F M | =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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8. 太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为 $θ$ ， $δ$ 为此时太阳直射点纬度， $φ$ 为当地纬度值，那么这三个量满足 $θ = 90 ° - | φ - δ |$ ．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（ $φ$ 取正值），选择春分当日（ $δ = 0 °$ ）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：
组别
甲组
乙组
丙组
丁组
木杆影长度（米）
0.82
0.80
0.83
0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（）

A、甲组 B、乙组 C、丙组 D、丁组

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9. 已知直线l： $x + y + m = 0$ 和圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2} - 1 ， \sqrt{2} - 1]$ B、 $[1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ C、 $[- 3 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 3]$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} - 1 ， x \leq 0 \\ l o g_{a} (x + 1) ， x > 0 \end{array}$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ．给出下列三个结论：
①函数 $f (x)$ 是单调函数；②当 $0 < a < 1$ 时，函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称；③当 $a > 1$ 时，方程 $f (x) = x$ 根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

11. 在 ${(1 - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线方程是 $5 x - 2 y = 0$ ，则 $m =$ ．

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13. 幂函数 $f (x) = x^{m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $g (x) = x^{n}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，能够使 $y = f (x) - g (x)$ 是奇函数的一组整数m，n的值依次是．

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14. 在矩形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点P在AB边上，则向量 $\vec{C P}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量的长度是， $\vec{C P} \cdot \vec{P D}$ 的最大值是．

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15. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱BC， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面A₁B₁C₁D₁上任意一点．若P与 $D_{1}$ 重合，则三棱锥E-PFG的体积是；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是．

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三、解答题

16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ． $△ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，E为AD的中点．

(1)、求证： $P E ⊥ A B$ ；

(2)、求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．

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17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、从下面四个条件中选择两个作为已知，求 $f (x)$ 的解析式，并求其在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值．
条件①： $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 2]$ ；
条件②： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增；
条件③： $f (x)$ 的图象经过点 $(0 ， 1)$ ；
条件④： $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．

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18. 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
$(A ， A)$
$(A ， B)$
$(B ， A)$
$(B ， B)$
甲员工
30天
20天
40天
10天
乙员工
20天
25天
15天
40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

(1)、分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；

(2)、记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值是2，求a的值；

(3)、设t为常数，求函数 $g (x) = \frac{l n x - l n t}{x - t}$ 的单调区间．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B， $| A B | = 4$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点， $| A N | = λ | A E |$ ．是否存在实数 $λ$ ，使得 $∠ N D E = ∠ D B F$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 从一个无穷数列 ${a_{n}}$ 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 ${a_{n}}$ 的一个无穷递增子列．已知数列 ${b_{n}}$ 是正实数组成的无穷数列，且满足 $b_{n} = | b_{n + 1} - b_{n + 2} |$ ．

(1)、若 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 2$ ，写出数列 ${b_{n}}$ 前 $4$ 项的所有可能情况；

(2)、求证：数列 ${b_{n}}$ 存在无穷递增子列；

(3)、求证：对于任意实数 $M$ ，都存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $b_{k} > M$ ．

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组别	甲组	乙组	丙组	丁组
木杆影长度（米）	0.82	0.80	0.83	0.85

选择餐厅情况（午餐，晚餐）	$(A ， A)$	$(A ， B)$	$(B ， A)$	$(B ， B)$
甲员工	30天	20天	40天	10天
乙员工	20天	25天	15天	40天