北京市海淀区2022届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x ⟨ 0 或 x ⟩ 1}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 0 \leq x < 1}$ C、 ${x | 0 < x \leq 1}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$

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2. 在 ${(1 - 2 x)}^{3}$ 的展开式中， $x$ 的系数为（）

A、-2 B、2 C、-6 D、6

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线经过点 $(1 ， 2)$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $x ， y \in R$ ，且 $x + y > 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 0$ B、 $x^{3} + y^{3} > 0$ C、 $l g (x + y) > 0$ D、 $s i n (x + y) > 0$

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5. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} x + a ， & x < 0 \\ b x - 1 ， & x > 0 \end{array}$ 是奇函数，则（）

A、 $a = 1 ， b = - 1$ B、 $a = - 1 ， b = 1$ C、 $a = 1 ， b = 1$ D、 $a = - 1 ， b = - 1$

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6. 已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $P_{n} (x_{n} ， y_{n}) (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 在抛物线上.若 $| P_{n + 1} F | - | P_{n} F | = 1$ ，则（）

A、 ${x_{n}}$ 是等差数列 B、 ${x_{n}}$ 是等比数列 C、 ${y_{n}}$ 是等差数列 D、 ${y_{n}}$ 是等比数列

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， \sqrt{3})$ .若 $⟨ \vec{c} ， \vec{a} ⟩ = ⟨ \vec{c} ， \vec{b} ⟩$ ，则 $\vec{c}$ 可能是（）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\sqrt{3} \vec{a} + \vec{b}$

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数”是“任意 $a > 0$ ， $y = f (x + a) - f (x)$ 无零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移 $y$ 与时间 $t$ （单位： $s$ ）的关系符合函数 $y = A s i n (ω t + φ) (| ω | < 100)$ .从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为 $0.01 s$ ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（）

A、9、15 B、6、18 C、4、11、18 D、6、12、18

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10. 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $E$ 为棱 $D C$ 上的动点， $F$ 为线段 $B^{^{'}} E$ 的中点.给出下列四个
① $B^{'} E ⊥ A D^{'}$ ；②直线 $D^{^{'}} F$ 与平面 $A B B^{'} A^{'}$ 所成角不变；③点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离不变；④点 $F$ 到 $A ， D ， D^{'} ， A^{'}$ 四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（）

A、②③ B、③④ C、①③④ D、①②④

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二、填空题

11. 已知 $a ， b$ 均为实数.若 $b + i = i (a + i)$ ，则 $a + b =$ ．

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12. 不等式 ${(\frac{1}{2})}^{x} > 1$ 的解集为．

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13. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型： $a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n} ， b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n} (n = 1 ， 2 ⋯)$ ，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足 $a_{1} > b_{1}$ ，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：
① $\forall n \in N^{*} ， a_{n} > b_{n}$ ；
② $\forall n \in N^{*} ， a_{n + 1} > a_{n} ， b_{n + 1} > b_{n}$ ；
③ $\exists k \in N^{*}$ ，使得当 $n > k$ 时，总有 $| \frac{a_{n}}{b_{n}} - 1 | < 1 0^{- 10}$
④ $\exists k \in N^{*}$ ，使得当 $n > k$ 时，总有 $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - 2 | < 1 0^{- 10}$ ．
其中，所有正确结论的序号是

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14. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ ，则圆 $C$ 的半径为；若直线 $y = k x$ 被圆 $C$ 截得的弦长为1，则 $k =$ ．

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15. 已知 $f (x) = s i n x + c o s x$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的最大值为；若 $f (x) + g (x)$ 的值域为 ${0}$ ，则a的最小值为．

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三、解答题

16. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $D C / /$ 面 $A B E$ ；

(2)、求 $D C$ 到平面 $A B E$ 的距离.

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17. 在 $△ A B C$ 中， $7 a = 6 b c o s B$ ．

(1)、若 $s i n A = \frac{3}{7}$ ，求 $∠ B$ ；

(2)、若 $c = 8$ ，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在.求 $△ A B C$ 的面积
条件①： $s i n A = \frac{4}{7}$ ；条件②： $s i n B = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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18. PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测

(1)、现从制造业的10个观测组中任取一组，
（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；
（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设 $X$ 表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、用 $b_{j} (j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 12)$ 表示第 $j$ 月非制造业所对应的PMI值， $\bar{b}$ 表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出 $| b_{j} - \bar{b} |$ 取得最大值所对应的月份．

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19. 椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、已知经过点 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线 $l$ 交椭圆 $M$ 于 $B ， C$ 两点， $D$ 是直线 $x = - 4$ 上一点.若四边形 $A B C D$ 为平行四边形，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = l n \frac{1 - x}{2} + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $x < 0$ 时， $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知有限数列 ${a_{n}}$ 共M项 $(M \geq 4)$ ，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列 ${a_{n}}$ 的各项和记为 $S$ ．

(1)、若 $a_{n} \in {1 ， 2} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M)$ ，直接写出 $M ， S$ 的值；

(2)、若 $a_{n} \in {1 ， 2 ， 3} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M)$ ，求 $M$ 的最大值；

(3)、若 $a_{n} \in N^{*} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M) ， M = 16$ ，求 $S$ 的最小值

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