北京市丰台区2022届高三数学高考二模试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(2 ， 1)$ ，则复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $1 + 2 i$

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2. “ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = 2 c o s^{2} x - 1$ 是（）

A、最小正周期为π的奇函数 B、最小正周期为π的偶函数 C、最小正周期为2π的奇函数 D、最小正周期为2π的偶函数

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4. 在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为

A、-240 B、-60 C、60 D、240

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5. 已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $l ∥ α$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ∥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l ∥ β$

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6. 小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（）

A、0.13 B、0.17 C、0.21 D、0.3

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7. 已知 $a = 3^{0.5}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = t a n \frac{2 π}{3}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{2} < S_{3} < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{3} < 0$ B、 $a_{2} - a_{1} < 0$ C、 $a_{2} + a_{3} < 0$ D、 $a_{4} > \sqrt{a_{3} \cdot a_{5}}$

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9. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减．若 $f (l g x) > f (1)$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{10} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{1}{10}) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{10} ， 10)$ D、 $(0 ， \frac{1}{10}) ∪ (10 ， + ∞)$

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10. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限， $A_{2} M$ 与另一条渐近线平行．若 $| F_{1} M | = \sqrt{21}$ ，则 $△ M A_{2} F_{2}$ 的面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{4}$

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (6 ， m)$ ．若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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12. 已知抛物线C： $x^{2} = 8 y$ ，则抛物线C的准线方程为．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $A = 2 B$ ，则 $c o s B =$ ．

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14. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： $m^{2}$ ）与时间t（单位：月）满足关系式： $y = a^{t} l n a$ （a为常数），记 $y = f (t)$ （ $t \geq 0$ ）．给出下列四个结论：
①设 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
②存在唯一的实数 $t_{0} \in (1 ， 2)$ ，使得 $f (2) - f (1) = f^{'} (t_{0})$ 成立，其中 $f^{'} (t)$ 是 $f (t)$ 的导函数；
③常数 $a \in (1 ， 2)$ ；
④记浮萍蔓延到 $2 m^{2}$ ， $3 m^{2}$ ， $6 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} > t_{3}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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15. 在平面直角坐标系中，已知点 $M (2 ， - 2)$ ，动点N满足 $| N M | = 1$ ，记d为点N到直线l： $x + m y + 1 - 2 m = 0$ 的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为；d的最大值为．

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三、解答题

16. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B$ ， D为BC的中点，平面 $A_{1} C_{1} D ∩$ 平面 $A B C = D P$ ．

(1)、求证： $A_{1} C_{1} ∥ D P$ ；

(2)、求平面 $A_{1} C_{1} D$ 与平面 $A A_{1} D$ 夹角的余弦值．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
条件①： $a_{1} = 1$ 且 $a_{n} - 2 a_{n - 1} = 0 (n \geq 2)$ ；

条件②： $S_{n} = 2^{n} - 1$ ；

条件③： $2 a_{n} - S_{n} = 1$ ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．若对任意 $n \in N^{*}$ ，不等式 $T_{n} < m$ 恒成立，求m的最小值．

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18. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．

(1)、求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；

(2)、记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，求证： $f (x) \leq (a - 1) x + 1$ ；

(3)、直接写出a的一个取值范围，使得 $f （ x ） \geq a x^{2} + (a - 1) x + 1$ 恒成立．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2 ， 1)$ ， P到椭圆C的两个焦点的距离和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设 $Q (4 ， 0)$ ， R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．

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21. 设 $I_{1} = [a_{1} ， b_{1}]$ ， $I_{2} = [a_{2} ， b_{2}]$ ， …， $I_{n} = [a_{n} ， b_{n}]$ ， $I_{n + 1} = [a_{n + 1} ， b_{n + 1}]$ ，是 $n + 1 (n \in N^{*})$ 个互不相同的闭区间，若存在实数 $x_{0}$ 使得 $x_{0} \in I_{i} (i = 1 ， 2 ， … ， n + 1)$ ，则称这 $n + 1$ 个闭区间为聚合区间， $x_{0}$ 为该聚合区间的聚合点．

(1)、已知 $I_{1} = [1 ， 3]$ ， $I_{2} = [- 2 ， s i n t] (0 < t < π)$ 为聚合区间，求t的值；

(2)、已知 $I_{1} = [a_{1} ， b_{1}]$ ， $I_{1} = [a_{2} ， b_{2}]$ ， …， $I_{n} = [a_{n} ， b_{n}]$ ， $I_{n + 1} = [a_{n + 1} ， b_{n + 1}]$ 为聚合区间．
（ⅰ）设 $x_{0}$ ， $y_{0}$ 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， $j \in {1 ， 2 ， … ， n + 1}$ ，使得 $[a_{k} ， b_{j}] \subseteq I_{i} (i = 1 ， 2 ， … ， n + 1)$ ；

（ⅱ）若对任意p，q（ $p \neq q$ 且p， $q \in {1 ， 2 ， … ， n + 1}$ ），都有 $I_{p}$ ， $I_{q}$ 互不包含．求证：存在不同的i， $j \in {1 ， 2 ， ⋯ ， n + 1}$ ，使得 $b_{i} - a_{j} \geq \frac{n - 1}{n} (b_{i} - a_{i})$ ．

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