北京市房山区2022届高三数学第二次模拟测试试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | | x | \leq 2}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {x | - 2 \leq x < 3}$ B、 $A ∪ B = {x | - 2 \leq x < 3}$ C、 $A ∩ B = {x | - 1 < x < 2}$ D、 $A ∩ B = {x | x < 3}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 1 ， 0)$ B、 $(\pm \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(\pm \sqrt{3} ， 0)$ D、 $(\pm \sqrt{5} ， 0)$

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3. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.2} ， b = l o g_{4} 0.2 ， c = l o g_{2} 3$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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4. 已知 $c o s α = \frac{3}{5} ， α$ 是第一象限角，且角 $α ， β$ 的终边关于y轴对称，则 $t a n β =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*}) ， S_{n}$ 为其前n项和.若 $a_{2} = 2$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、20 B、30 C、31 D、62

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6. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x |$ ，则不等式 $f (x) < 2$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) ∪ (0 ， 4)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(\frac{1}{4} ， 4)$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

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7. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面，直线 $l ⊄ α$ ，且 $α ⊥ β$ ，那么“ $l / / α$ ”是“ $l ⊥ β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{F N} =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、0 D、-1

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果 $a_{1} = 3 ， a_{n} = 45$ ，那么 $n + d$ 的最小值为（）

A、13 B、14 C、17 D、18

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10. 下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它区
营业收入占比
48.6%
15.8%
20.1%
10.8%
4.7%
净利润占比
65.8%
04.3%
16.5%
20.2%
1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 $40 %$ .
其中正确结论的序号是（）

A、①③ B、②④ C、②③ D、②③④

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二、填空题

11. 抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的准线方程为．

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12. 复数 $z$ 满足 $（ 1 - i ） z = 2 i ，则 | z | =$

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq a ， \\ x^{3} ， x > a . \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上不是增函数，则a的一个取值为.

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14. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ϖ t$ .我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ .给出下列四个结论：
① $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ ；
② $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点；
③ $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数；
④ $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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15. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 和直线 $l ： y = k (x + 1)$ ，则圆心坐标为；若点 $P$ 在圆 $C$ 上运动， $P$ 到直线 $l$ 的距离记为 $d (k)$ ，则 $d (k)$ 的最大值为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $a c o s B + \frac{1}{2} b = c ， b = 2$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $B C$ 边上的高.
条件①： $c o s B = - \frac{2}{3}$ ；条件②： $s i n B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；条件③： $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .在底面 $A B C D$ 中， $B C / / A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = C D = 1$ ， $B C = 2$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的夹角等于 $\frac{π}{3}$ ，求点B到平面 $P C D$ 的距离.

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18. 北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
$[0 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100)$
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中
10
高中
m
13
12
7
5
4

(1)、从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 $[50 ， 60)$ 的概率；

(2)、从参加体育实践活动时间在 $[80 ， 90)$ 和 $[90 ， 100)$ 的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

(3)、假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为 $μ_{0}$ ，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为 $μ_{1} ， μ_{2}$ ，当m满足什么条件时， $μ_{0} \geq \frac{μ_{1} + μ_{2}}{2}$ .（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最小值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $(0 ， - 1)$ ，一个焦点为 $(1 ， 0)$ .

(1)、求椭圆C的方程和离心率；

(2)、已知点 $P (0 ， 2)$ ，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线 $P M$ 与椭圆C的另一个交点为Q.若 $△ M N Q$ 的面积等于 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $P M$ 的斜率.

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21. 已知数集 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}} (1 = a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n} ， n \geq 2)$ 具有性质P：对任意的 $k (2 \leq k \leq n) ， \exists i ， j (1 \leq i \leq j \leq n)$ ，使得 $a_{k} = a_{i} + a_{j}$ 成立.

(1)、分别判断数集 ${1 ， 3 ， 5}$ 与 ${1 ， 2 ， 3 ， 6}$ 是否具有性质P，并说明理由；

(2)、已知 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证： $2 a_{n} - 1 \leq S_{n}$ ；

(3)、若 $a_{n} = 36$ ，求数集A中所有元素的和的最小值.

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	生鲜区	熟食区	乳制品区	日用品区	其它区
营业收入占比	48.6%	15.8%	20.1%	10.8%	4.7%
净利润占比	65.8%	04.3%	16.5%	20.2%	1.8%

		$[0 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100)$
性别	男	5	12	13	8	9	8
性别	女	6	9	10	10	6	4
学段	初中					10
学段	高中	m	13	12	7	5	4