北京市东城区2022届高三下学期数学综合练习（三）试卷

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 1}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | x < 1}$ D、 ${x | x \leq 2}$

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2. 在复平面内，复数 $z = \frac{1 - 3 i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $3 a_{m} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为CC₁ ， D₁C₁的中点，则下列直线中与直线 $B E$ 相交的是（）

A、直线 $A_{1} F$ B、直线 $A D_{1}$ C、直线 $C_{1} D_{1}$ D、直线 $A A_{1}$

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5. 已知直线 $y = k (x - \sqrt{3})$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，则 $k =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、1 D、±1

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6. 若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）

A、0.6 B、0.375 C、0.36 D、0.216

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7. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ”是“ $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} \in {1 ， 2 ， 3}$ ，则 ${a_{n}}$ 中的项不可能为（）

A、0 B、-1 C、-2 D、-3

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9. 如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 $120$ $m$ ，转盘直径为 $110 m$ ，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要 $30$ $m i n$ .游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动 $t$ $m i n$ 后距离地面的高度为 $H$ $m$ ，则在转动一周的过程中，高度 $H$ 关于时间 $t$ 的函数解析式是（）

A、 $H = 55 c o s (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$ B、 $H = 55 s i n (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$ C、 $H = - 55 c o s (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$ D、 $H = - 55 s i n (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$

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二、多选题

10. 下列函数中最小正周期不是 $π$ 的周期函数为（）

A、 $y = s i n | x |$ B、 $y = | s i n x |$ C、 $y = c o s | x |$ D、 $y = | t a n x |$

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三、填空题

11. 在 $(x^{2} - \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为.（用数字作答）

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12. 能说明“若 $s i n α = c o s β$ ，则 $α + β = k \cdot 36 0^{∘} + 9 0^{∘}$ ，其中 $k \in Z$ ”为假命题的一组 $α$ ， $β$ 的值是．

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13. 某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭元.

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14. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2} + a$ .
①对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 为偶函数；
②对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；
③存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点；
④存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2022$ 的解集为 $(- \infty ， - 1] ∪$ $[1 ， + \infty)$ .
所有正确命题的序号为.

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15. 双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率为；设 $O$ 为坐标原点，过 $C$ 的右焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P ， Q$ 两点，则△ $O P Q$ 的面积为.

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四、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A ： s i n B ： s i n C = 2 ： 3 ： \sqrt{7}$ .

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $B C$ 边上中线的长.
条件①： $a + b = 5$ ；条件②： $c = \frac{\sqrt{7}}{3} b$ ；条件③： $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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17. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $C C_{1}$ ， $A_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $E D / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的大小；

(3)、线段 $B C$ 上是否存在点 $G$ ，使得 $A_{1} G ⊥ B D$ ？若存在，求出点 $G$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；若不存在，说明理由.

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18. 为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.
乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图
组别
每天日间户外活
动时间（单位：h）
人数
1
$[0 ， 1)$
120
2
$[1 ， 2)$
250
3
$[2 ， 3)$
60
4
$[3 ， 4]$
70
甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表

(1)、根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；

(2)、已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为 $y = k x + b$ .

(1)、求 $k$ ， $b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = {\begin{array}{l} k x + b ， x < 1 ， \\ l n x ， x \geq 1 . \end{array}$ ，若 $g (x) = t$ 有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），将 $x_{2} - x_{1}$ 表示为 $t$ 的函数，并求 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ，长轴长为 $2 \sqrt{6}$ .过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆C于 $A ， B$ 两点，直线 $F_{1} A ， F_{1} B$ 分别交直线 $x = 3$ 于点 $M ， N$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设线段 $A B$ 中点为 $T$ ，当点 $M ， N$ 位于 $x$ 轴异侧时，求 $T$ 到直线 $x = 3$ 的距离的取值范围.

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21. 已知无穷数列 $A ： a_{1} ， a_{2} ， ⋯$ 满足：① $a_{i} \in N^{*} (i = 1 ， 2 ， ⋯)$ ；② $a_{i} + a_{j} \leq a_{i + j} \leq a_{i} + a_{j} + 1$ （ $i = 1 ， 2 ， ⋯$ ； $j = 1 ， 2 ， ⋯$ ； $i + j \geq 3$ ）.设 $a_{i}^{*}$ 为 $a_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯)$ 所能取到的最大值，并记数列 $A^{*} ： a_{1}^{*} ， a_{2}^{*} ， ⋯$ .

(1)、若 $a_{1} = 1$ ，写出一个符合条件的数列A的通项公式；

(2)、若 $a_{1} = a_{2} = 1$ ，求 $a_{4}^{*}$ 的值；

(3)、若 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ，求数列 $A^{*}$ 的前100项和.

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组别	每天日间户外活动时间（单位：h）	人数
1	$[0 ， 1)$	120
2	$[1 ， 2)$	250
3	$[2 ， 3)$	60
4	$[3 ， 4]$	70