浙江省名校2022届高三下学期5月高考模拟数学试题

试卷更新日期：2022-06-27 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分．

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${2}$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 是虚数单位，设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

查看试题解析
3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

查看试题解析
4. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{cases} x - y - 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 4 \leq 0 \\ 2 y + 3 \geq 0 \end{cases}$ ，则 $z = - x + 3 y$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、-5 D、 $- \frac{23}{2}$

查看试题解析
5. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a + | a | \geq b + | b |$ ”是“ $a \geq b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 过 $x$ 轴正半轴上一点 $P (x_{0} ， 0)$ 作圆 $C ： x^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，若 $| A B | ⩾ \sqrt{3}$ ，则 $x_{0}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

查看试题解析
7. 已知 $α \in R$ ，则函数 $f (x) = \frac{x^{α}}{e^{x} + 2}$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知 $a ， b \in [0 ， 2]$ ，则 $a^{2} - a + | b - a |$ 的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

查看试题解析
9. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形，若 $P B ⊥ A B$ ， $B A = B P = B C = 2 D C = 2$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $P D = P C$ B、 $P D = \sqrt{2}$ C、 $P D ⊥ B C$ D、 $P C ⊥ A D$

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a (a > 0)$ ， $\sqrt{a_{n + 1} a_{n}} = a_{n} + 1$ ，给出下列三个结论：①不存在 $a$ ，使得数列 ${a_{n}}$ 单调递减；②对任意的a，不等式 $a_{n + 2} + a_{n} < 2 a_{n + 1}$ 对所有的 $n \in N *$ 恒成立；③当 $a = 1$ 时，存在常数 $C$ ，使得 $a_{n} < 2 n + C$ 对所有的 $n \in N *$ 都成立.其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

查看试题解析

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11. 如图1是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第一个直角三角形 $O A_{1} A_{2}$ 是等腰三角形，且 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4} = ... = A_{7} A_{8} = 1$ ，它可以形成近似的等角螺线，记 $O A_{1} ， O A_{2} ， O A_{3} ， ... ， O A_{8}$ 的长度组成数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{8}$ =.

查看试题解析
12. 将一个四棱锥和一个半圆柱进行拼接，所得几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为，表面积为.

查看试题解析
13. 若 ${(1 + m x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} (m \neq 0 ， n \in N *)$ 的各项系数和与二项式系数和均为32，则 $m + n$ = ， $a_{3}$ =.

查看试题解析
14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c ， a = 1 ， b \cos A + \cos B = 2 b$ ，则 $\frac{c}{b}$ = ， $△ A B C$ 的面积的最大值为．

查看试题解析
15. 从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若 $E (X) = 1$ ，则m= ， $P (X \geq 2)$ =.

查看试题解析
16. 已知平面向量a，b满足 $| 5 a - b | = 4 ， a \cdot b \in [0 ， 1]$ ，则|a|的取值范围是.

查看试题解析
17. 过抛物线 $Γ ： x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ， $l_{1}$ 与 $Γ$ 相交于点 $A ， B$ ， $l_{2}$ 与 $Γ$ 相交于点 $C ， D$ .分别以 $A B ， C D$ 为直径的圆 $M$ ，圆 $N$ （ $M ， N$ 为圆心）的公共弦记为 $l$ ，则点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为.

查看试题解析

三、解答题：本大题共5小题,共74分．

18. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} (x + \frac{π}{3}) + \cos^{2} x$ .
（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）若函数 $g (x) = f (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 关于点 $(\frac{π}{2} ， 1)$ 中心对称，求 $y = g (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域.

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D / / B C$ ， $A D = 2 D C = A P = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在棱 $P B$ 上，满足 $A F / /$ 平面 $P C D$ ．

（Ⅰ）求 $\frac{B F}{B P}$ 的值；

（Ⅱ）求直线 $P C$ 与平面 $A E F$ 夹角的正弦值.

查看试题解析
20. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）已知数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {(- 1)}^{n} (a_{n} - b_{n})$ ，设 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若实数 $λ$ 满足 $T_{2 n} < λ < T_{2 n - 1}$ 对任意的 $n \geq 3 ， n \in N *$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的上、下顶点分别为 $B_{1} ， B_{2}$ ，抛物线 $C_{2} ：$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 在点 $P (2 ， - 2 \sqrt{p})$ 处的切线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $M ， N$ ，交椭圆的短轴于点 $C$ ，直线 $M B_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $D$ .

（Ⅰ）若点 $C$ 是 $O B_{2}$ 的中点，求 $p$ 的值；

（Ⅱ）设 $△ M C D$ 与 $△ M N B_{1}$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x^{2} \cdot \ln x$ .
（Ⅰ）求函数 $y = f (x) - x$ 的最小值；

（Ⅱ）若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 有两实数解 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} > \frac{e + 1}{1 - | x_{1} - x_{2} |}$ .（其中 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数）.

查看试题解析