2012年高考理数真题试卷（江西卷）

试卷更新日期：2016-09-23 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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2. 下列函数中，与函数y= $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 定义域相同的函数为（）

A、y= $\frac{1}{\sin x}$ B、y= $\frac{\ln x}{x}$ C、y=xe^x D、y= $\frac{\sin x}{x}$

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3. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} + 1 ， x \leq 1 \\ \lg x ， x > 1 \end{matrix}$ ，则f（f（10））=（）

A、lg101 B、2 C、1 D、0

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4. 若tanθ+ $\frac{1}{\tan θ}$ =4，则sin2θ=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 下列命题中，假命题为（）

A、存在四边相等的四边形不是正方形 B、z₁ ， z₂∈C，z₁+z₂为实数的充分必要条件是z₁ ， z₂互为共轭复数 C、若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1 D、对于任意n∈N^* ， $C_{n}^{0}$ + $C_{n}^{1}$ +…+ $C_{n}^{n}$ 都是偶数

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6. 观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a¹⁰+b¹⁰=（）

A、28 B、76 C、123 D、199

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7. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 $\frac{{| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}}{{| P C |}^{2}}$ =（）

A、2 B、4 C、5 D、10

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8. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）

A、50，0 B、30，20 C、20，30 D、0，50

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9. 样本（x₁ ， x₂…，x_n）的平均数为x，样本（y₁ ， y₂ ， …，y_m）的平均数为 $\bar{y}$ （ $\bar{x}$ ≠ $\bar{y}$ ）．若样本（x₁ ， x₂…，x_n ， y₁ ， y₂ ， …，y_m）的平均数 $\bar{z}$ =α $\bar{x}$ +（1﹣α） $\bar{y}$ ，其中0＜α＜ $\frac{1}{2}$ ，则n，m的大小关系为（）

A、n＜m B、n＞m C、n=m D、不能确定

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10. 如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 计算定积分 $\int_{- 1}^{1}$ （x²+sinx）dx= ．

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12. 设数列{a_n}，{b_n}都是等差数列，若a₁+b₁=7，a₃+b₃=21，则a₅+b₅= ．

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13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ．若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为．

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14. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．

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三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分

15.

(1)、（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x²+y²﹣2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为．

(2)、（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为．

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四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=﹣ $\frac{1}{2}$ n²+kn（其中k∈N₊），且S_n的最大值为8．

(1)、确定常数k，求a_n；

(2)、求数列 ${\frac{9 - 2 a_{n}}{2^{n}}}$ 的前n项和T_n ．

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17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A= $\frac{π}{4}$ ，bsin（ $\frac{π}{4}$ +C）﹣csin（ $\frac{π}{4}$ +B）=a，

(1)、求证：B﹣C= $\frac{π}{2}$

(2)、若a= $\sqrt{2}$ ，求△ABC的面积．

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18. 如图，从A₁（1，0，0），A₂（2，0，0），B₁（0，1，0），B₂（0，2，0），C₁（0，0，1），C₂（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．

(1)、求V=0的概率；

(2)、求V的分布列及数学期望EV．

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19. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁= $\sqrt{5}$ ，BC=4，点A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．

(1)、证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；

(2)、求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值．

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20. 已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足| $\vec{M A}$ + $\vec{M B}$ |= $\vec{O M}$ •（ $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ ）+2．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、动点Q（x₀ ， y₀）（﹣2＜x₀＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

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21. 若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）= ${(\frac{1 - x^{p}}{1 + λ x^{p}})}^{\frac{1}{p}}$ （λ＞﹣1，p＞0）

(1)、判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；

(2)、若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p= $\frac{1}{n}$ （n∈N₊）时h（x）的中介元为x_n ，且S_n= $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ，若对任意的n∈N₊ ，都有S_n＜ $\frac{1}{2}$ ，求λ的取值范围；

(3)、当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．

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	年产量/亩	年种植成本/亩	每吨售价
黄瓜	4吨	1.2万元	0.55万元
韭菜	6吨	0.9万元	0.3万元