湖北省随州市2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2022的倒数是（）

A、2022 B、-2022 C、 $\frac{1}{2022}$ D、 $- \frac{1}{2022}$

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2. 如图，直线 $l_{1}$ // $l_{2}$ ，直线l与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交，若图中 $∠ 1 = 60 °$ 则∠2为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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3. 小明同学连续5次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（）

A、97和99 B、97和100 C、99和100 D、97和101

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4. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（）

A、主视图和左视图 B、主视图和俯视图 C、左视图和俯视图 D、三个视图均相同

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5. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（）

A、 $150 (12 + x) = 240 x$ B、 $240 (12 + x) = 150 x$ C、 $150 (x - 12) = 240 x$ D、 $240 (x - 12) = 150 x$

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6. 2022年6月5日10时44分07秒，神舟十四号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为 $7.7 \times 1 0^{3} m / s$ ，则中国空间站绕地球运行 $2 \times 1 0^{2} s$ 走过的路程（m）用科学记数法可表示为（）

A、 $15.4 \times 1 0^{5}$ B、 $1.54 \times 1 0^{6}$ C、 $15.4 \times 1 0^{6}$ D、 $1.54 \times 1 0^{7}$

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7. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上.下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，y表示张强离家的距离.则下列结论不正确的是（）

A、张强从家到体育场用了15min B、体育场离文具店1.5km C、张强在文具店停留了20min D、张强从文具店回家用了35min

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8. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点， $A P ⊥ E F$ 分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的 $\frac{1}{4}$ .正确的有（）

A、只有① B、①② C、①③ D、②③

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9. 如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β， $C D = a$ ，则建筑物AB的高度为（）

A、 $\frac{a}{t a n α - t a n β}$ B、 $\frac{a}{t a n β - t a n α}$ C、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n α - t a n β}$ D、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n β - t a n α}$

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10. 如图，已知开口向下的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $(- 1 ， 0)$ 对称轴为直线 $x = 1$ .则下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的最大值为 $- 4 a$ ；④若关于x的方数 $a x^{2} + b x + c = a + 1$ 无实数根，则 $- \frac{1}{5} < a < 0$ .正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 计算： $3 \times (- 1) + | - 3 | =$ .

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12. 如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB=60°，则∠AOB的度数为.

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13. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 4 \\ 2 x + y = 5 \end{array}$ ，则 $x - y$ 的值为.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 1$ 与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点C，若 $A B = B C$ ，则k的值为.

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15. 已知m为正整数，若 $\sqrt{189 m}$ 是整数，则根据 $\sqrt{189 m} = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 7 m} = 3 \sqrt{3 \times 7 m}$ 可知m有最小值 $3 \times 7 = 21$ .设n为正整数，若 $\sqrt{\frac{300}{n}}$ 是大于1的整数，则n的最小值为，最大值为.

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16. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， E，F分别为AB，AD的中点，连接EF.如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角 $θ (0 < θ < 90 °)$ ，使 $E F ⊥ A D$ ，连接BE并延长交DF于点H，则∠BHD的度数为， DH的长为.

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三、解答题

17. 解分式方程： $\frac{1}{x} = \frac{4}{x + 3}$ .

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $x_{1} x_{2} = 5$ ，求k的值.

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19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.

(1)、求证 $A E = C F$ ；

(2)、已知平行四边形ABCD的面积为 $20$ ， $A B = 5$ .求 $C F$ 的长.

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20. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解答下列问题

(1)、参加问卷调查的学生共有人；

(2)、条形统计图中m的值为，扇形统计图中 $α$ 的度数为；

(3)、根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有人；

(4)、现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.

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21. 如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且 $B E = D E$ .

(1)、判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A C = 4$ ， $s i n C = \frac{1}{3}$ ，
①求⊙O的半径；

②求BD的长.

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22. 2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会古祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空.该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）经过连续15天的销售统计，得到第x天（

1 \leq x \leq 15

，且x为正整数）的供应量

y_{1}

（单位：个）和需求量

y_{2}

（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量

y_{2}

与x满足某二次函数关系.（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）

第x天	1	2	…	6	…	11	…	15
供应量 $y_{1}$ （个）	150	$150 + m$	…	$150 + 5 m$	…	$150 + 10 m$	…	$150 + 14 m$
需求量 $y_{2}$ （个）	220	229	…	245	…	220	…	164

(1)、直接写出

y_{1}

与x和

y_{2}

与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）

(2)、已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）

(3)、在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额.

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23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

(1)、我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $(a + b + c) d = a d + b d + c d$

公式②： $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

公式③： ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

公式④： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式；

(2)、《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

(3)、如图6，在等腰直角三角形ABC中， $∠ B A C = 90 °$ ， D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作 $E G ⊥ B C$ 于点G，作 $E H ⊥ A D$ F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为 $S_{1}$ ， △ABD与△AEH的面积之和为 $S_{2}$ .

①若E为边AC的中点，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为 ▲ ；

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.

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24. 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c + (a < 0)$ 与x轴分则点A和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C，对称轴为直线 $x = - 1$ ，且 $O A = O C$ ， P为抛物线上一动点.

(1)、直接写出抛物线的解析式；

(2)、如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

(3)、设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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