湖南省岳阳市岳阳县2022届高三下学期数学高考适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若 $A ∩ (∁_{R} B)$ 有三个元素，则实数m的取值范围是（）

A、[3，4） B、[1，2） C、[2，3） D、（2，3]

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2. 下列选项中，说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $l n a < l n b$ B、向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (m ， 2 m - 1)$ （m∈R）垂直的充要条件是m＝1 C、命题“ $\forall n \in N^{*} ， 3^{n} > (n + 2) \cdot {2^{n}}^{﹣ 1}$ ”的否定是“ $\forall n \in N^{*} ， 3^{n} \geq (n + 2) \cdot {2^{n}}^{﹣ 1}$ ” D、某辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛．要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为80.

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3. 已知点A（2，0），B（0，﹣1），点 $P$ 是圆x²+（y﹣1）²＝1上任意一点，则 $△ P A B$ 面积最大值为（）

A、2 B、 $4 + \sqrt{5}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $2 + \frac{\sqrt{5}}{2}$

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点P( $\sin 47^{0}, \cos 47^{0}$ )，则sin( $α - 13^{0}$ )=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 函数 $f (x) = s i n x + a c o s x$ （ $a < 0$ ）在一个周期内的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）

A、AH⊥△EFH所在平面 B、AG⊥△EFH所在平面 C、HF⊥△AEF所在平面 D、HG⊥△AEF所在平面

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 及圆O： $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ ，如图，过点 $B (0 ， a)$ 与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 $∠ A O B = 6 0^{0}$ ，则椭圆离心率的为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) - 6 x + 2 s i n x = 0$ ，且 $x ⩾ 0$ 时， $f^{^{'}} (x) ⩾ 3 - c o s x$ 上恒成立，则不等式 $f (x) ⩾ f (\frac{π}{2} - x) - \frac{3 π}{2} + 6 x + \sqrt{2} c o s (x + \frac{π}{4})$ 的解集为（）

A、 $(\frac{π}{4} ， + \infty)$ B、 $[\frac{π}{4} ， + \infty)$ C、 $(\frac{π}{6} ， + \infty)$ D、 $[\frac{π}{6} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若 ${(x^{2} + \frac{1}{a x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是-160，则（）

A、 $a = - \frac{1}{2}$ B、所有项系数之和为1 C、二项式系数之和为64 D、常数项为-320

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10. 已知在边长为2的等边 $△ A B C$ 中，向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列式子正确的是（）

A、 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = 2$ B、 $| \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ C、 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$

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11. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P在抛物线C上， $A (- \frac{5}{4} ， 0)$ ，若 $△ P A F$ 为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12. 过平面内一点 $P$ 作曲线 $y = | l n x |$ 两条互相垂直的切线 $l_{1}$ ､ $l_{2}$ ，切点为 $P_{1}$ ､ $P_{2}$ （ $P_{1}$ ､ $P_{2}$ 不重合），设直线 $l_{1}$ ､ $l_{2}$ 分别与 $y$ 轴交于点 $A$ ､ $B$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P_{1}$ ､ $P_{2}$ 两点的横坐标之积为定值 B、直线 $P_{1} P_{2}$ 的斜率为定值； C、线段 $A B$ 的长度为定值 D、三角形 $A B P$ 面积的取值范围为 $(0 ， 1]$

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三、填空题

13. 已知复数z满足 $(4 + 3 i) (z - 3 i) = 25$ ，则 $| z | =$

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14. 某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示：
广告支出费用x
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
销售量y
3.8
5.4
7.0
11.6
12.2
根据表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} =$ 2.27x $+ \hat{a}$ ， R²≈0.96，则
①第三个样本点对应的残差 $\hat{e_{3}} = -$ 1
②在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中
③销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的
上述结论判断中有一个是错误的，其序号为

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15. 某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为 $R$ ，球形巧克力的半径为 $r$ ，每个球形巧克力的体积为 $V_{1}$ ，包装盒的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$

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16. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ ，若函数 $h (x) = f (x - 4) + x$ ，则函数 $h (x)$ 的图象的对称中心为；若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{11} = 44$ ， $h (a_{1}) + h (a_{2}) + ⋯ + h (a_{11}) =$ ．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①： $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ；
条件②： $f (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；
条件③： $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{5 π}{6} ， - 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， $A = \frac{π}{6}$ ， $a = f (A)$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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18. 如图，在五面体 $A B C D E$ 中，△ $A B C$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $B C D E$ 为直角梯形， $D E / / B C$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $C D = D E = 1$ ， $A D = \sqrt{5}$ ．

(1)、若平面 $A D E ∩$ 平面 $A B C = l ，$ 求证： $D E / / l$ ；

(2)、若 $\vec{B F} = \vec{F E}$ ，求平面 $A C F$ 与平面 $A D E$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ；甲、乙得2分的概率分别为 $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ；甲、乙得1分的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{6}$ ．

(1)、求甲、乙两人所得分数相同的概率；

(2)、设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是首项为1公比为 $q (q \in N^{*})$ 的等比数列，其前n项和为 $T_{n}$ ，且 $n^{2} (T_{n} + 1) = 2^{n} S_{n}$ ，对任意 $n \in N$ 恒成立.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，记 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $R_{n}$ ，若 $a_{n}^{2} \cdot b_{n} \geq λ (R_{n} - 3)$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = k (x + 1) (k \neq 0)$ 与椭圆交于 $A$ 、 $B$ 两点，过 $A$ 、 $B$ 作直线 $l ： x = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，点 $G$ 为线段 $M N$ 的中点， $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点．求证：四边形 $A G N F$ 为梯形．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n (a x)}{x} - e l n x$ （ $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数底数）.

(1)、当 $a = e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > e$ 时，证明： $f (x) < (a - 1) e$

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广告支出费用x	2.2	2.6	4.0	5.3	5.9
销售量y	3.8	5.4	7.0	11.6	12.2