湖南省岳阳市2022届高三下学期数学教学质量监测试卷（三）

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{5 - i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + 3 i$ B、 $2 - 4 i$ C、 $3 + 3 i$ D、 $2 + 4 i$

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2. $1 - 2 c o s^{2} 67.5 ° =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知 $a = 3^{0.5}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = t a n \frac{5}{6} π$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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4. “直线 $l$ 与直线 $m$ 没有公共点”是“ $l ∥ m$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t} (t \geq 0)$ ，其中k为常数， $k > 0$ ， $P_{0}$ 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）

A、5% B、3% C、2% D、1%

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6. 甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（）

A、甲胜乙 B、乙胜丙 C、乙平丁 D、丙平丁

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7. 已知圆 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 1$ 经过原点，则圆上的点到直线 $y = x + 2$ 距离的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 2$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点M，N在C上，且 $\vec{F_{1} F_{2}} = 3 \vec{M N}$ ， $\vec{F_{1} M} ⊥ \vec{F_{2} N}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法中，错误的是（）

A、数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{24}$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{24} ， 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{4} + 2 k π ， \frac{π}{12} + 2 k π] ， k \in Z$ D、函数 $g (x + \frac{5 π}{12})$ 是偶函数

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10. 已知随机变量X服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，密度函数 $f (x) = P (X \leq x)$ ，若 $x > 0$ ，则（）

A、 $f (- x) = 1 - f (x)$ B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 D、 $P (| X | \leq x) = 2 f (x) - 1$

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11. 已知 ${(x - 2)}^{8} = a_{8} x^{8} + a_{7} x^{7} + ⋯ + a_{1} x + a_{0} ，$ 则（）

A、 $a_{0} = 2^{8}$ B、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{8} = 1$ C、 $| a_{1} | + | a_{2} | + ⋯ + | a_{8} | = 3^{8}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 8 a_{8} = - 8$

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12. 如图，圆柱的轴截面 $A B C D$ 是正方形，E在底面圆周上， $A E = B E ， A F ⊥ D E$ ， F是垂足，G在BD上， $D G = 2 B G$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A F ⊥ B D$ B、直线DE与直线 $A G$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ C、直线DE与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ． D、若平面 $A F G ∩$ 平面 $A B E = l$ ，则 $l ∥ F G$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ ．

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14. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F作直线 $l$ ，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线 $l$ 的倾斜角为．

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15. 已知函数 $f (x) = l o g_{9} (x + 3)$ ， $x \in [0 ， m]$ ，若 $\forall x_{1} \in [0 ， m]$ ， $\exists x_{2} \in [0 ， m]$ ，使得 $f (x_{1}) = \frac{1}{f (x_{2})}$ ，则 $m =$ ．

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16. 在梯形ABCD中， $A B ∥ C D ， A B = 2 ， A D = C D = C B = 1$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，连接BD，得到三棱锥 $D - A B C$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为．此时该三棱锥的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = \frac{2 π}{3}$ ， $b = \sqrt{6}$ ．

(1)、若 $c o s A c o s C = \frac{2}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、试问 $a + c = a c$ 能否成立？若能成立，求此时 $△ A B C$ 的周长；若不能成立，请说明理由．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 1$ ， ____.请在① $a_{4} + a_{7} = 13$ ；② $a_{1} ， a_{3} ， a_{7}$ 成等比数列；③ $S_{10} = 65$ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，求证： $1 \leq T_{n} < 3$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A B = 2 \sqrt{3} ， A C = 2 B C = 4$ ，且D为线段 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、若 $B_{1}$ 到直线 $A C$ 的距离为 $\sqrt{19}$ ，求二面角 $B_{1} - A_{1} C - D$ 的余弦值.

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20. 2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

喜欢
不喜欢
合计
男生
$a$
$c$
女生
$b$
$d$
合计
已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中 $a = 100$ ， $d = 20$ .
参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；

(2)、从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用 $X$ 表示3人中女生的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求a的值；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
① $f (x) > x l n x - s i n x$ ；
② $f (x) > x (l n x - 1) - c o s x$ ．

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22. 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $P D$ ， $D$ 是垂足，点 $M$ 满足： $\vec{D M} = λ \vec{D P} (λ > 0)$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，过点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 作与坐标轴不垂直的直线 $l$ 与点 $M$ 的轨迹交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$ 是点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点，试在 $x$ 轴上找一定点 $N$ ，使 $B$ 、 $C$ 、 $N$ 三点共线，并求 $△ A F N$ 与 $△ B F N$ 面积之比的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

	喜欢	不喜欢	合计
男生	$a$	$c$
女生	$b$	$d$
合计