湖南省怀化市2022届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-06-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1} ， B = {y ∣ y = x^{2} ， x \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 4}$

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2. 已知复数 $(x + i) (1 + i) = y i$ ，则实数x，y分别为（）

A、 $x = - 1 ， y = 1$ B、 $x = - 1 ， y = 2$ C、 $x = 1 ， y = 1$ D、 $x = 1 ， y = 2$

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3. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}} ， b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}} ， c = l n 3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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4. 二项式 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{12}$ 的展开式中的常数项是（）

A、第7项 B、第8项 C、第9项 D、第10项

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5. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ， $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ，则直线 $l ： a x + b y = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} + a x + b y = 0$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、相切 D、不能确定

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6. 已知 $ξ$ 的分布列如下表：
$ξ$
0
1
2
P
？
!
？
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：① $E (ξ) = 1$ ；② $D (ξ) > 1$ ；③ $P (ξ = 0) \leq \frac{1}{2}$ ，正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知平面向量 $\vec{a} 、 \vec{b} (\vec{a} \neq \vec{b})$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ，且 $\vec{b}$ 与 $\vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为 $30 °$ ，则 $| \vec{b} |$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ， O为坐标原点.若存在过点 $M (m ， 0) (m > 0)$ 的直线l与C相交于A､B两点，且 $| A M | \cdot | M B | = | O M |^{2}$ ，则实数m的取值范围为（）

A、 $[4 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $[\frac{4}{3} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{4}{3})$

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二、多选题

9. 下列函数中，存在极值点的是（）

A、 $y = x - \frac{1}{x}$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = - 2 x^{3} - x$ D、 $y = x l n x$

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10. 我国疫情基本阻断后，在抓好常态化疫情防控的基础上，有力有序推进复工复产复业复市，成为当务之急.某央企彰显担当，主动联系专业检测机构，为所有员工提供上门核酸全覆盖检测服务，以便加快推进复工复产.下面是该企业连续11天复工复产指数折线图，则下列说法正确的是（）

A、这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B、这11天期间，复产指数增量大于复工指数增量 C、第3天至第11天复工复产指数均超过 $80 %$ D、第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量

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11. 设 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 是各项为正数的等比数列，q是其公比， $K_{n}$ 是其前n项的积，且 $K_{5} < K_{6} ， K_{6} = K_{7} > K_{8}$ ，则下列选项中成立的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $a_{7} = 1$ C、 $K_{9} > K_{5}$ D、 $K_{6}$ 与 $K_{7}$ 均为 $K_{n}$ 的最大值

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12. 如下图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $C C_{1}$ 上的动点， $A M ⊥$ 平面 $α$ ，则下面说法正确的是（）

A、直线AB与平面 $α$ 所成角的正弦值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、点M与点 $C_{1}$ 重合时，平面 $α$ 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C、点M为 $C C_{1}$ 的中点时，平面 $α$ 经过点B，则平面 $α$ 截正方体所得截面图形是等腰梯形 D、已知N为 $D D_{1}$ 中点，当 $A M + M N$ 的和最小时，M为 $C C_{1}$ 的三等分点

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三、填空题

13. 已知 $a \in R ，$ ，且“ $x > a$ ”是“ $x^{2} > 2 x$ ”的充分不必要条件，则a的取值范围是.

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14. 自从申办冬奥成功之后，中国大力推广冰雪运动.统计数据显示，现中国从北到南总共有654块标准冰场和803块滑雪场，全国冰雪运动参与人数已达3.46亿人.一对酷爱冰雪运动的年轻夫妇，让刚好十个月大的孩子把“0､2､2､2､北､京”六张卡片排成一行，若依次排成“2022北京”或“北京2022”，就说“很好”，那么“很好”的概率是.

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15. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图形如图所示，求函数 $f (x)$ 的解析式．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} (| x + 3 | + 1) ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{array}$ 若存在实数 $a < b < c$ ，满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a f (a) + b f (b) + c f (c)$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且 $a c o s C + \sqrt{3} c s i n A - b - c = 0$ .

(1)、求角A的值；

(2)、在解三角形问题中，若 $b = 2$ ，且 $△ A B C$ 有两解，求边a的取值范围.

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18. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x（℃）
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
$\hat{b} = \frac{\sum^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum^{n} {x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 $\hat{y} =$ bx+a；

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，其前n项的和为 $S_{n}$ .已知 $a_{1} + a_{4} = - \frac{7}{16}$ ，且 $S_{1} 、 S_{3} 、 S_{2}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = n (n \in N^{*})$ ，记 $T_{n} = | \frac{b_{1}}{a_{1}} | + | \frac{b_{2}}{a_{2}} | + | \frac{b_{3}}{a_{3}} | + ⋯ + | \frac{b_{n}}{a_{n}} |$ ，若 $(n - 1)^{2} \leq m (T_{n} - n - 1)$ 对于 $n \geq 2$ 恒成立，求实数m的范围.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B = 1 ， A D = 2$ ，点F是棱BC的中点.

(1)、若PB与平面ABCD所成的角为 $45 °$ ，求二面角 $A - P F - C$ 的大小；

(2)、若直线PB与过直线AF的平面 $α$ 平行，平面 $α$ 与棱PD交于点S，指明点 $S$ 的位置，并证明.

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21. 如图.矩形ABCD的长 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，宽 $B C = \frac{1}{2}$ ，以A､B为左右焦点的椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.

(1)、求椭圆M的方程，并求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围；

(2)、若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，试证明 $k_{1} + k_{2} - 2 k$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - a s i n x ， a \in R$ .

(1)、当 $a = π$ 时，求 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围.

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日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16

$ξ$	0	1	2
P	？	!	？